На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 на- рисована «змейка», пред- ную, состоящую из четно- го числа звеньев, идущих по линиям сетки. На ри- ставляющая из себя лома- emyor.p сунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, по- строенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 160

Чтобы решить задачу о длине ломаной, построенной аналогичным образом, давайте разберемся с правилами построения «змейки» и последовательно найдем длину. ### 1. Определение структуры «змейки» Предположим, что «змейка» состоит из звеньев, где каждое звено имеет определённую длину, и они чередуются между собой: в одном направлении, затем в перпендикулярном. ### 2. Пример построения «змейки» Когда у нас есть «змейка» из четного числа звеньев, каждое звено добавляется к общей длине, увеличивая её на определённую величину. Посмотрим на конкретный пример, когда последнее звено имеет длину 10: - Предположим, первые звенья имеют длины: 2, 4, 6, 8, 10. - Общая длина в этом случае: \(2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30\). ### 3. Увеличение длины последнего звена до 160 Теперь нам нужно выяснить, какую длину будет иметь ломаная, где последнее звено составляет 160. Следуя прежней логике, мы можем представить последовательность длины звеньев следующей формулой: Например, если: - Первые звенья: 2, 4, 6, ..., до последнего звена, которое равно 160, Мы видим, что последняя длина звена \( n \) — это 160. ### 4. Найдем предыдущее звено и суммируем Сначала определим, сколько звеньев у нас в последовательности: - Последнее звено: 160. - Предпоследнее звено, по аналогии с примерами: 158. - Таким образом, длины будут: 2, 4, 6, ..., 158, 160. ### 5. Формула суммы арифметической прогрессии Длину «змейки» можно найти через сумму первого и последнего звена, множитель — это количество звеньев. Число звеньев можно найти по формуле: \[ n = \frac{\text{последний элемент} - \text{первый элемент}}{\text{разность}} + 1 \] Где первый элемент = 2, и разность между элементами (двигаемся по 2). \[ n = \frac{160 - 2}{2} + 1 = 80 \] ### 6. Сумма всех звеньев Сумма \( S \) первых \( n \) членов арифметической прогрессии может быть найдена как: \[ S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] где \( a_1 \) — первый член, \( a_n \) — последний член. Подставим наши значения: \[ S = \frac{80}{2} \cdot (2 + 160) = 40 \cdot 162 = 6480 \] ### Ответ Таким образом, длина ломаной, построенной аналогичным образом с последним звеном длиной 160, составляет **6480** единиц.