Обозначим производительность первого насоса как ( A ) (бассейн в час), а второго насоса как ( B ) (бассейн в час).
При совместной работе насосов бассейн заполняется за 8 часов, следовательно, их суммарная производительность:
[
A + B = \frac{1}{8}
]
После ремонта производительность первого насоса увеличилась в 1,2 раза, а второго — в 1,6 раза. Новая производительность первого насоса будет ( 1,2A ), а второго — ( 1,6B ). Совместно они теперь наполняют бассейн за 6 часов, то есть их суммарная производительность равна:
[
1,2A + 1,6B = \frac{1}{6}
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( A + B = \frac{1}{8} )
- ( 1,2A + 1,6B = \frac{1}{6} )
Решим первую систему уравнений. Из первого уравнения выразим ( B ):
[
B = \frac{1}{8} - A
]
Подставим ( B ) во второе уравнение:
[
1,2A + 1,6\left(\frac{1}{8} - A\right) = \frac{1}{6}
]
Раскроем скобки:
[
1,2A + \frac{1,6}{8} - 1,6A = \frac{1}{6}
]
Упростим ( \frac{1.6}{8} ):
[
\frac{1.6}{8} = 0.2
]
Теперь у нас есть:
[
1,2A - 1,6A + 0.2 = \frac{1}{6}
]
Соберем коэффициенты:
[
-0,4A + 0,2 = \frac{1}{6}
]
Вычтем ( 0.2 ) из обеих сторон:
[
-0,4A = \frac{1}{6} - 0,2
]
Переведем ( 0,2 ) в дробь с общим знаменателем ( 6 ):
[
0,2 = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = \frac{2}{10} = \frac{12}{60} = \frac{3}{15}
]
Теперь:
[
\frac{1}{6} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 6}{30} = -\frac{1}{30}
]
Таким образом:
[
-0,4A = -\frac{1}{30}
]
Разделим обе стороны на (-0,4):
[
A = \frac{1}{30} \div \frac{4}{10} = \frac{1}{30} \times \frac{10}{4} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}
]
Теперь мы знаем производительность первого насоса после ремонта ( A = \frac{1}{12} ) бассейна в час. Для нахождения времени заполнения бассейна этим насосом, найдем взятое за скорость заполнения, период ( T ):
[
T = \frac{1}{A} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12
]
Таким образом, первый насос после ремонта заполнит бассейн за 12 часов.
