При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 ч. После ремонта насосов произ-водительность первого из них увеличилась в 1,2 раза, а второго…
При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 ч. После ремонта насосов произ-водительность первого из них увеличилась в 1,2 раза, а второго — в 1,6 раза, и при одновременной работе обоих насосов бассейн стал наполняться за 6 ч. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта?
Обозначим производительность первого насоса как \( A \) (бассейн в час), а второго насоса как \( B \) (бассейн в час).
При совместной работе насосов бассейн заполняется за 8 часов, следовательно, их суммарная производительность:
\[ A + B = \frac{1}{8} \]
После ремонта производительность первого насоса увеличилась в 1,2 раза, а второго — в 1,6 раза. Новая производительность первого насоса будет \( 1,2A \), а второго — \( 1,6B \). Совместно они теперь наполняют бассейн за 6 часов, то есть их суммарная производительность равна:
\[ 1,2A + 1,6B = \frac{1}{6} \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( A + B = \frac{1}{8} \)
- \( 1,2A + 1,6B = \frac{1}{6} \)
Решим первую систему уравнений. Из первого уравнения выразим \( B \):
\[ B = \frac{1}{8} - A \]
Подставим \( B \) во второе уравнение:
\[ 1,2A + 1,6\left(\frac{1}{8} - A\right) = \frac{1}{6} \]
Раскроем скобки:
\[ 1,2A + \frac{1,6}{8} - 1,6A = \frac{1}{6} \]
Упростим \( \frac{1.6}{8} \):
\[ \frac{1.6}{8} = 0.2 \]
Теперь у нас есть:
\[ 1,2A - 1,6A + 0.2 = \frac{1}{6} \]
Соберем коэффициенты:
\[ -0,4A + 0,2 = \frac{1}{6} \]
Вычтем \( 0.2 \) из обеих сторон:
\[ -0,4A = \frac{1}{6} - 0,2 \]
Переведем \( 0,2 \) в дробь с общим знаменателем \( 6 \):
\[ 0,2 = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = \frac{2}{10} = \frac{12}{60} = \frac{3}{15} \]
Теперь:
\[ \frac{1}{6} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 6}{30} = -\frac{1}{30} \]
Таким образом:
\[ -0,4A = -\frac{1}{30} \]
Разделим обе стороны на \(-0,4\):
\[ A = \frac{1}{30} \div \frac{4}{10} = \frac{1}{30} \times \frac{10}{4} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12} \]
Теперь мы знаем производительность первого насоса после ремонта \( A = \frac{1}{12} \) бассейна в час. Для нахождения времени заполнения бассейна этим насосом, найдем взятое за скорость заполнения, период \( T \):
\[ T = \frac{1}{A} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12 \]
Таким образом, первый насос после ремонта заполнит бассейн за 12 часов.
