Чтобы решить систему уравнений
[
\begin{cases}
2x + y = 11 \quad (1) \
6x - y = 21 \quad (2)
\end{cases}
]
мы можем воспользоваться методом сложения (или вычитания) уравнений для устранения одной из переменных. Давайте решим систему шаг за шагом.
Шаг 1: Изолируем одну переменную
Сначала выразим переменную (y) из первого уравнения (1):
[
y = 11 - 2x \quad (3)
]
Шаг 2: Подставляем найденное выражение во второе уравнение
Теперь подставим выражение (3) для (y) во второе уравнение (2):
[
6x - (11 - 2x) = 21
]
Упростим уравнение:
[
6x - 11 + 2x = 21
]
Шаг 3: Объединяем подобные члены
Соберём все (x):
[
8x - 11 = 21
]
Добавим 11 к обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от свободного члена:
[
8x = 21 + 11
]
[
8x = 32
]
Шаг 4: Находим x
Теперь разделим обе стороны на 8:
[
x = \frac{32}{8} = 4
]
Шаг 5: Подставляем значение x обратно
Теперь, когда мы знаем (x), можем найти (y), подставив значение (x = 4) в (3):
[
y = 11 - 2(4)
]
[
y = 11 - 8 = 3
]
Ответ
Теперь у нас есть значение для обеих переменных:
[
x = 4 \quad \text{и} \quad y = 3
]
Таким образом, решением системы уравнений является:
[
(4; 3)
]
