Известно, что периметр равнобедренной трапеции с основаниями 30 и 90 равен 220. Найди площадь данной трапеции. (Приложи фотографию своего решения для проверки учителем.)

Давайте решим задачу о нахождении площади равнобедренной трапеции с основанием 30, основанием 90 и периметром 220.

Шаг 1: Определение элементов трапеции

1. Обозначим:
   • \( a = 30 \) (малое основание)
   • \( b = 90 \) (большое основание)
   • \( c \) (длина боковых сторон, она одинаковая для равнобедренной трапеции)
   • \( P = 220 \) (периметр трапеции)

Шаг 2: Запись формулы периметра

Периметр равнобедренной трапеции рассчитывается по формуле: \[ P = a + b + 2c \] Подставим известные значения: \[ 220 = 30 + 90 + 2c \]

Шаг 3: Упрощение уравнения

Сначала сложим основания: \[ 220 = 120 + 2c \] Теперь решим для \( c \): \[ 220 - 120 = 2c \] \[ 100 = 2c \] \[ c = \frac{100}{2} = 50 \]

Шаг 4: Вычисление высоты трапеции

Следующим шагом нам нужно найти высоту \( h \) трапеции. Для этого используем прямоугольный треугольник, который образуется, если провести перпендикуляр из верхнего основания к нижнему основанию:

1. Длина основания между перпендикулярами: \[ \text{Длина} = b - a = 90 - 30 = 60 \]

2. Поскольку трапеция равнобедренная, каждая из боковых сторон делит промежуток на две равные части: \[ x = \frac{60}{2} = 30 \]

3. У нас есть прямоугольный треугольник, где:

   • противолежащая сторона = \( h \)
   • прилежащая сторона = \( 30 \)
   • гипотенуза = \( c = 50 \)

Используем теорему Пифагора: \[ h^2 + 30^2 = 50^2 \] \[ h^2 + 900 = 2500 \] \[ h^2 = 2500 - 900 \] \[ h^2 = 1600 \] \[ h = \sqrt{1600} = 40 \]

Шаг 5: Нахождение площади трапеции

Теперь можем найти площадь \( S \) трапеции по формуле: \[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h \] Подставляем значения: \[ S = \frac{(30 + 90)}{2} \times 40 = \frac{120}{2} \times 40 = 60 \times 40 = 2400 \]

Ответ

Площадь равнобедренной трапеции составляет \( 2400 \) квадратных единиц.