решить задачу составив систему: площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а его гипотенуза равна 10 см. каковы катеты треугольника
Для решения задачи, давайте используем известные формулы и свойства прямоугольного треугольника.
Шаг 1: Обозначим катеты. Обозначим катеты треугольника как \(a\) и \(b\).
Шаг 2: Используем формулу для площади прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2}ab \] Где \(S\) — площадь, \(a\) и \(b\) — катеты.
По условию задачи площадь \(S = 24 \, \text{см}^2\). Тогда: \[ \frac{1}{2}ab = 24 \]
Умножим обе стороны на 2: \[ ab = 48 \quad \text{(1)} \]
Шаг 3: Используем теорему Пифагора. Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Где \(c\) — гипотенуза. По условию задачи \(c = 10 \, \text{см}\). Подставляем: \[ 10^2 = a^2 + b^2 \] Это преобразуется в: \[ 100 = a^2 + b^2 \quad \text{(2)} \]
Шаг 4: Решение системы уравнений. Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \(ab = 48\)
- \(a^2 + b^2 = 100\)
Мы можем выразить \(b\) через \(a\) из первого уравнения: \[ b = \frac{48}{a} \]
Шаг 5: Подставим значение b в уравнение (2). Подставим \(b\) во второе уравнение: \[ a^2 + \left(\frac{48}{a}\right)^2 = 100 \]
Упростим это уравнение: \[ a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100 \]
Умножим все на \(a^2\) (чтобы избавиться от дроби): \[ a^4 - 100a^2 + 2304 = 0 \]
Обозначим \(x = a^2\). Тогда у нас получается квадратное уравнение: \[ x^2 - 100x + 2304 = 0 \]
Шаг 6: Найдем корни квадратного уравнения. Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784 \]
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня. Вычислим их: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 \pm 28}{2} \] \[ x_1 = \frac{128}{2} = 64 \] \[ x_2 = \frac{72}{2} = 36 \]
Шаг 7: Найдем значения a и b. Теперь найдём \(a\) и \(b\): \[ a^2 = 64 \implies a = 8 \quad (b^2 = 36 \implies b = 6) \quad \text{или} \] \[ a^2 = 36 \implies a = 6 \quad (b^2 = 64 \implies b = 8) \]
Ответ: Катеты прямоугольного треугольника равны \(6 \, \text{см}\) и \(8 \, \text{см}\).
