Для решения задачи, давайте используем известные формулы и свойства прямоугольного треугольника.
Шаг 1: Обозначим катеты.
Обозначим катеты треугольника как (a) и (b).
Шаг 2: Используем формулу для площади прямоугольного треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
[
S = \frac{1}{2}ab
]
Где (S) — площадь, (a) и (b) — катеты.
По условию задачи площадь (S = 24 , \text{см}^2). Тогда:
[
\frac{1}{2}ab = 24
]
Умножим обе стороны на 2:
[
ab = 48 \quad \text{(1)}
]
Шаг 3: Используем теорему Пифагора.
Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Где (c) — гипотенуза. По условию задачи (c = 10 , \text{см}). Подставляем:
[
10^2 = a^2 + b^2
]
Это преобразуется в:
[
100 = a^2 + b^2 \quad \text{(2)}
]
Шаг 4: Решение системы уравнений.
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- (ab = 48)
- (a^2 + b^2 = 100)
Мы можем выразить (b) через (a) из первого уравнения:
[
b = \frac{48}{a}
]
Шаг 5: Подставим значение b в уравнение (2).
Подставим (b) во второе уравнение:
[
a^2 + \left(\frac{48}{a}\right)^2 = 100
]
Упростим это уравнение:
[
a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100
]
Умножим все на (a^2) (чтобы избавиться от дроби):
[
a^4 - 100a^2 + 2304 = 0
]
Обозначим (x = a^2). Тогда у нас получается квадратное уравнение:
[
x^2 - 100x + 2304 = 0
]
Шаг 6: Найдем корни квадратного уравнения.
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784
]
Так как (D > 0), уравнение имеет два различных корня. Вычислим их:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 \pm 28}{2}
]
[
x_1 = \frac{128}{2} = 64
]
[
x_2 = \frac{72}{2} = 36
]
Шаг 7: Найдем значения a и b.
Теперь найдём (a) и (b):
[
a^2 = 64 \implies a = 8 \quad (b^2 = 36 \implies b = 6) \quad \text{или}
]
[
a^2 = 36 \implies a = 6 \quad (b^2 = 64 \implies b = 8)
]
Ответ:
Катеты прямоугольного треугольника равны (6 , \text{см}) и (8 , \text{см}).
