Задача 2: Лотерея с двумя этапами В лотерее есть два этапа: сначала игрок тянет карточку, а затем — выбирает один из двух ящиков с призами. • В мешке 3 красных и 7 синих карточек. • Если игрок вытянул красную карточку, он выбирает один из двух ящиков с вероятностями 0.6 и 0.4. • Если игрок вытянул синюю карточку, он выбирает ящики с вероятностями 0.3 и 0.7. Какова вероятность того, что случайный игрок выберет второй ящик?

Решим задачу поэтапно, чтобы понять, как вычисляется вероятность того, что игрок выберет второй ящик. ### Шаг 1: Найдем общее количество карточек В мешке у нас есть 3 красные и 7 синих карточек. Общее количество карточек: \[ 3 + 7 = 10 \] ### Шаг 2: Находим вероятности вытягивания карточек - Вероятность вытянуть красную карточку: \[ P(\text{Красная}) = \frac{3}{10} = 0.3 \] - Вероятность вытянуть синюю карточку: \[ P(\text{Синяя}) = \frac{7}{10} = 0.7 \] ### Шаг 3: Находим вероятности выбора второго ящика Теперь определим вероятность выбора второго ящика в зависимости от цвета вытянутой карточки. - Если игрок вытянул красную карточку, вероятность выбора второго ящика равна 0.4 (так как первой ящик 0.6): \[ P(\text{Второй ящик} | \text{Красная}) = 0.4 \] - Если игрок вытянул синюю карточку, вероятность выбора второго ящика равна 0.7: \[ P(\text{Второй ящик} | \text{Синяя}) = 0.7 \] ### Шаг 4: Применим теорему полной вероятности Теперь, чтобы найти общую вероятность выбора второго ящика, используем теорему полной вероятности: \[ P(\text{Второй ящик}) = P(\text{Второй ящик} | \text{Красная}) \cdot P(\text{Красная}) + P(\text{Второй ящик} | \text{Синяя}) \cdot P(\text{Синяя}) \] Подставим известные значения: \[ P(\text{Второй ящик}) = (0.4 \cdot 0.3) + (0.7 \cdot 0.7) \] Теперь вычислим каждое слагаемое: - Для первого слагаемого: \[ 0.4 \cdot 0.3 = 0.12 \] - Для второго слагаемого: \[ 0.7 \cdot 0.7 = 0.49 \] Теперь сложим оба результата: \[ P(\text{Второй ящик}) = 0.12 + 0.49 = 0.61 \] ### Ответ Таким образом, вероятность того, что случайный игрок выберет второй ящик, равна 0.61 или 61%.