1.При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того,…

Для решения обеих задач воспользуемся понятиями теории вероятностей. Начнём с первой задачи.

Задача 1

Условие: Вероятности обнаружения космического корабля тремя радиолокационными станциями составляют 0,7, 0,8 и 0,9 соответственно. Нужно найти вероятность того, что корабль будет обнаружен не менее чем двумя станциями.

Шаги решения:

1. Определим вероятности обнаружения и невидимости:

   • Вероятность обнаружения:
     • Станция 1: \( p_1 = 0,7 \)
     • Станция 2: \( p_2 = 0,8 \)
     • Станция 3: \( p_3 = 0,9 \)
   • Вероятности негативного результата (то есть, что корабль не будет обнаружен):
     • Станция 1: \( q_1 = 1 - p_1 = 0,3 \)
     • Станция 2: \( q_2 = 1 - p_2 = 0,2 \)
     • Станция 3: \( q_3 = 1 - p_3 = 0,1 \)

2. Находим вероятность обнаружения не менее чем двумя станциями: Существует три подходящих сценария:

   • Обнаружен только 2 станции.
   • Обнаружен 3 станции.

3. Находим каждую ситуацию:

   • Ситуация 1: Обнаружение ровно 2 станциями.

     • Первая и вторая обнаруживают, третья нет: \[ P(A_1) = p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 = 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,1 = 0,056 \]
     • Первая и третья обнаруживают, вторая нет: \[ P(A_2) = p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 = 0,7 \cdot 0,2 \cdot 0,9 = 0,126 \]
     • Вторая и третья обнаруживают, первая нет: \[ P(A_3) = q_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0,3 \cdot 0,8 \cdot 0,9 = 0,216 \]

     Общая вероятность обнаружения ровно 2 станциями: \[ P(\text{2 станции}) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) = 0,056 + 0,126 + 0,216 = 0,398 \]

   • Ситуация 2: Обнаружение 3 станциями: \[ P(\text{3 станции}) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,9 = 0,504 \]

4. Общая вероятность обнаружения не менее 2 станциями: \[ P(\text{не менее 2 станциями}) = P(\text{2 станции}) + P(\text{3 станции}) = 0,398 + 0,504 = 0,902 \]

Таким образом, вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен не менее чем двумя станциями, составляет 0,902.

Задача 2

Условие: Комплектовщик получает детали от трёх заводов с различными долями и вероятностями высшего качества. Найти вероятность того, что случайно взятая деталь будет высшего качества, а затем вероятность того, что эта деталь изготовлена на заводе № 2.

Шаги решения:

1. Определим доли деталей и вероятности высшего качества:

   • Доля с завода № 1: \( P(D_1) = 0,3 \)
   • Доля с завода № 2: \( P(D_2) = 0,2 \)
   • Доля с завода № 3: \( P(D_3) = 1 - (0,3 + 0,2) = 0,5 \)

   Вероятности высшего качества:

   • Для завода № 1: \( P(Q|D_1) = 0,9 \)
   • Для завода № 2: \( P(Q|D_2) = 0,8 \)
   • Для завода № 3: \( P(Q|D_3) = 0,6 \)

2. Находим общую вероятность высшего качества (по теореме полной вероятности): \[ P(Q) = P(Q|D_1) \cdot P(D_1) + P(Q|D_2) \cdot P(D_2) + P(Q|D_3) \cdot P(D_3) \] Подставляя значения: \[ P(Q) = 0,9 \cdot 0,3 + 0,8 \cdot 0,2 + 0,6 \cdot 0,5 \] \[ = 0,27 + 0,16 + 0,3 = 0,73 \]

   Таким образом, вероятность того, что случайно взятая деталь будет высшего качества, составляет 0,73.

3. Теперь находим вероятность того, что деталь высшего качества была изготовлена на заводе № 2: Используем формулу Байеса: \[ P(D_2|Q) = \frac{P(Q|D_2) \cdot P(D_2)}{P(Q)} \] Подставляем значения: \[ P(D_2|Q) = \frac{0,8 \cdot 0,2}{0,73} = \frac{0,16}{0,73} \approx 0,2192 \]

Таким образом, вероятность того, что деталь высшего качества изготовлена на заводе № 2, составляет примерно 0,219.

В итоге:

1. Вероятность обнаружения космического корабля не менее чем двумя станциями: 0,902.
2. Вероятность высшего качества детали: 0,73.
3. Вероятность высшего качества детали, изготовленной на заводе № 2: примерно 0,219.