Построй график функции y = 2 x ∣ x ∣ − 4 ∣ x ∣ + 2 x y=2x∣x∣−4∣x∣+2x . Определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m m…

Для решения задачи сначала построим график функции:

\[ y = 2x|x| - 4|x| + 2x \]

Шаг 1: Упростим функцию

Обратите внимание, что функция включает выражение \( |x| \). Разделим её на два случая, чтобы учесть абсолютные значения.

1. Случай 1: \( x \geq 0 \) (где \( |x| = x \))

В этом случае функция преобразуется следующим образом: \[ y = 2x \cdot x - 4 \cdot x + 2x = 2x^2 - 4x + 2x = 2x^2 - 2x \] Таким образом, для \( x \geq 0 \): \[ y = 2x^2 - 2x \]

2. Случай 2: \( x < 0 \) (где \( |x| = -x \))

В этом случае: \[ y = 2x \cdot (-x) - 4 \cdot (-x) + 2x = -2x^2 + 4x + 2x = -2x^2 + 6x \] Таким образом, для \( x < 0 \): \[ y = -2x^2 + 6x \]

Теперь у нас есть два выражения:

• \( y = 2x^2 - 2x \) для \( x \geq 0 \)
• \( y = -2x^2 + 6x \) для \( x < 0 \)

Шаг 2: Построим графики

1. График функции \( y = 2x^2 - 2x \):

   • Это парабола, открывающаяся вверх.
   • Вершина выражения находится в точке: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \]

   Подставим \( x = \frac{1}{2} \) в функцию для нахождения \( y \): \[ y = 2 \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \] Таким образом, вершина параболы — это точка \( \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right) \).

2. График функции \( y = -2x^2 + 6x \):

   • Это парабола, открывающаяся вниз.
   • Вершина находится в точке: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot -2} = \frac{3}{2} \]

   Подставим \( x = \frac{3}{2} \): \[ y = -2 \left( \frac{3}{2} \right)^2 + 6 \cdot \frac{3}{2} = -2 \cdot \frac{9}{4} + 9 = -\frac{18}{4} + 9 = -\frac{18}{4} + \frac{36}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} \] Вершина параболы — это точка \( \left( \frac{3}{2}, \frac{9}{2} \right) \).

Шаг 3: Найдём, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функций

Для первого случая \( y = 2x^2 - 2x \):

• Парабола пересекает прямую в двух точках, если \( m \) меньше, чем значение в вершине, так как это парабола, открывающаяся вверх.
• Вершина равна \( -\frac{1}{2} \), значит \( m < -\frac{1}{2} \).

Для второго случая \( y = -2x^2 + 6x \):

• Парабола пересекает прямую в двух точках, если \( m \) больше, чем вершина, так как эта парабола открывается вниз.
• Вершина равна \( \frac{9}{2} \), значит \( m > \frac{9}{2} \).

Шаг 4: Подведём итог

Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь ровно две общие точки с графиком, если: \[ m < -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad m > \frac{9}{2} \]

Остались только числа. Поскольку у нас два диапазона значений, которые не имеют общих точек, мы можем записать результаты:

• Значение \( m = -\frac{1}{2} \) дано в условии, но оно не подходит, так как пересечение будет именно в этой точке.
• Отрицательные значения подходят в диапазоне \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) и значения, превышающие \( \frac{9}{2} \).

Ответ: Итак, корни находятся при \( m < -\frac{1}{2} \) и \( m > 4.5 \).

Совокупно: Ответ: \(-\infty 4.5 \)

*Поскольку анализируемый диапазон предоставляет значения, которые не представлены в виде конкретных чисел, ищем конкретные значения для единичных точек пересечения, это могут быть любые реалистичные значения из диапазона.