Построй график функции y=2xx−4x+2xy=2x∣x∣−4∣x∣+2x . Определи, при каких значениях mm прямая y=m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m m несколько, в ответе…
Построй график функции y=2xx−4x+2xy=2x∣x∣−4∣x∣+2x. Определи, при каких значениях mm прямая y=m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m m несколько, в ответе запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов
Чтобы построить график функции \( y = 2x |x| - 4|x| + 2x \) и определить значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком этой функции, давайте разберём задачу шаг за шагом.
Преобразуем функцию:
Функция содержит знак модуля, поэтому рассмотрим два случая: когда \( x \geq 0 \) и \( x < 0 \).
Случай \( x \geq 0 \): Здесь \( |x| = x \). Подставим в функцию: \[ y = 2x^2 - 4x + 2x = 2x^2 - 2x \]
Случай \( x < 0 \): Здесь \( |x| = -x \). Подставим в функцию: \[ y = 2x(-x) - 4(-x) + 2x = -2x^2 + 4x + 2x = -2x^2 + 6x \]
Запишем обе части функции: \[ y = \begin{cases} 2x^2 - 2x, & x \geq 0 \\ -2x^2 + 6x, & x < 0 \end{cases} \]
Найдем критические точки: Теперь найдем точки пересечения графика функции с прямой \( y = m \) для обоих случаев.
Для \( x \geq 0 \): \[ 2x^2 - 2x - m = 0 \] Используя дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m) = 4 + 8m = 4(1 + 2m) \] Уравнение имеет два разных решения, если \( D > 0 \): \[ 4(1 + 2m) > 0 \implies 1 + 2m > 0 \implies m > -\frac{1}{2} \]
Для \( x < 0 \): \[ -2x^2 + 6x - m = 0 \] Аналогично, найдем дискриминант: \[ D = 6^2 - 4(-2)(-m) = 36 - 8m \] Уравнение имеет два разных решения, если \( D > 0 \): \[ 36 - 8m > 0 \implies 8m < 36 \implies m < 4.5 \]
Совмещаем условия: Мы хотим, чтобы прямая \( y = m \) пересекала график ровно дважды, что возможно, если:
- \( m > -\frac{1}{2} \) (две точки для \( x \geq 0 \)) и
- \( m < 4.5 \) (две точки для \( x < 0 \) влияет на то, что нам нужны решения именно для одного из участков, что также сделает 2 пересечения).
Итак, определяем расстояние между ограничениями: Эти условия дают нам промежуток: \[ -\frac{1}{2} < m < 4.5 \] Однако, чтобы могло быть ровно две общие точки, необходимо также определить, что в точках - границах равенства (где \( m = -\frac{1}{2} \) и \( m = 4.5 \)) будут нулевые касательные и график не пересечет прямую.
Таким образом, находим значения \( m \): Единственные значения \( m \), при которых прямая пересекает график ровно дважды на участках, это: \[ m = -\frac{1}{2}, 4.5 \]
Запишем ответы в порядке возрастания: \[ -\frac{1}{2}4.5 \]
Пожалуйста, обратите внимание, что в ответах могут быть нецелые значения. В соответствии с условием записи (без пробелов и скобок), используйте нужный формат для ответов по необходимости.
