легкий способ решения линейных уравнений с 2 не известными

Решение линейных уравнений с двумя неизвестными можно выполнить различными методами, но одним из самых простых и популярных является метод подстановки и метод сложения (или метод elimination). В качестве примера рассмотрим оба метода на общем уровне.

Метод подстановки

1. Решите одно из уравнений относительно одной переменной.

   Например, если у вас есть система уравнений: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \quad (1) \\ x - y = 2 \quad (2) \end{cases} \]

   Можно решить (2) относительно \(x\): \[ x = y + 2. \]

2. Подставьте найденное значение в другое уравнение.

   Подставим \(x\) в (1): \[ 2(y + 2) + 3y = 6. \]

3. Решите полученное уравнение и найдите значение другой переменной.

   Упростим: \[ 2y + 4 + 3y = 6 \\ 5y + 4 = 6 \\ 5y = 2 \\ y = \frac{2}{5}. \]

4. Используйте найденное значение, чтобы найти остальные переменные.

   Теперь подставим значение \(y\) в \(x = y + 2\): \[ x = \frac{2}{5} + 2 = \frac{2}{5} + \frac{10}{5} = \frac{12}{5}. \]

5. Запишите ответ. \[ x = \frac{12}{5}, \quad y = \frac{2}{5}. \]

Метод сложения (или метод исключения)

1. Умножьте уравнения, если это необходимо, чтобы коэффициенты одной из переменных были одинаковыми (или противоположными).

   Пользуемся той же системой уравнений: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \quad (1) \\ x - y = 2 \quad (2) \end{cases} \]

   Умножим (2) на 3: \[ 3(x - y) = 3 \cdot 2 \\ 3x - 3y = 6 \quad (3). \]

2. Сложите или вычтите уравнения, чтобы исключить одну переменную.

   Сложим (1) и (3): \[ (2x + 3y) + (3x - 3y) = 6 + 6 \\ 5x = 12 \\ x = \frac{12}{5}. \]

3. Подставьте найденное значение в одно из исходных уравнений, чтобы найти другую переменную.

   Подставим \(x\) в (2): \[ \frac{12}{5} - y = 2 \\ -y = 2 - \frac{12}{5} \\ -y = \frac{10}{5} - \frac{12}{5} \\ -y = -\frac{2}{5} \\ y = \frac{2}{5}. \]

4. Запишите ответ. \[ x = \frac{12}{5}, \quad y = \frac{2}{5}. \]

Оба метода приводят к одному и тому же решению. Выберите тот, который вам понятнее!