$\sqrt [3 ] { - 2 \frac {10} {27} } + 8 \sqrt [4 ] {5 \frac {1} {16} }$
Чтобы решить выражение \(\sqrt[3]{-2 \frac{10}{27}} + 8 \sqrt[4]{5 \frac{1}{16}}\), давайте разберем его на части:
Шаг 1: Преобразование дробей
Сначала преобразуем неправильные дроби:
Для \(-2 \frac{10}{27}\): \[ -2 \frac{10}{27} = -\left(2 + \frac{10}{27}\right) = -\left(\frac{54}{27} + \frac{10}{27}\right) = -\frac{64}{27} \]
Для \(5 \frac{1}{16}\): \[ 5 \frac{1}{16} = 5 + \frac{1}{16} = \frac{80}{16} + \frac{1}{16} = \frac{81}{16} \]
Теперь подставляем эти преобразования в исходное выражение: \[ \sqrt[3]{-\frac{64}{27}} + 8 \sqrt[4]{\frac{81}{16}} \]
Шаг 2: Вычисление кубического корня
Теперь найдем кубический корень: \[ \sqrt[3]{-\frac{64}{27}} = \frac{\sqrt[3]{-64}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{-4}{3} \]
Шаг 3: Вычисление четвертого корня
Для четвертого корня: \[ \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2} \]
Теперь подставим это значение обратно в выражение: \[ \sqrt[3]{-\frac{64}{27}} + 8 \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = -\frac{4}{3} + 8 \cdot \frac{3}{2} \]
Шаг 4: Упрощение выражения
Вычислим \(8 \cdot \frac{3}{2}\): \[ 8 \cdot \frac{3}{2} = 4 \cdot 3 = 12 \]
Теперь можем подставить это значение обратно в выражение: \[ -\frac{4}{3} + 12 \]
Шаг 5: Приведение к общему знаменателю
Чтобы сложить дроби, приведем \(12\) к знаменателю \(3\): \[ 12 = \frac{36}{3} \]
Теперь можем сложить: \[ -\frac{4}{3} + \frac{36}{3} = \frac{-4 + 36}{3} = \frac{32}{3} \]
Ответ
Таким образом, окончательный результат: \[ \sqrt[3]{-2 \frac{10}{27}} + 8 \sqrt[4]{5 \frac{1}{16}} = \frac{32}{3} \]
