Чтобы решить выражение (\sqrt[3]{-2 \frac{10}{27}} + 8 \sqrt[4]{5 \frac{1}{16}}), давайте разберем его на части:
Шаг 1: Преобразование дробей
Сначала преобразуем неправильные дроби:
Для (-2 \frac{10}{27}):
[
-2 \frac{10}{27} = -\left(2 + \frac{10}{27}\right) = -\left(\frac{54}{27} + \frac{10}{27}\right) = -\frac{64}{27}
]
Для (5 \frac{1}{16}):
[
5 \frac{1}{16} = 5 + \frac{1}{16} = \frac{80}{16} + \frac{1}{16} = \frac{81}{16}
]
Теперь подставляем эти преобразования в исходное выражение:
[
\sqrt[3]{-\frac{64}{27}} + 8 \sqrt[4]{\frac{81}{16}}
]
Шаг 2: Вычисление кубического корня
Теперь найдем кубический корень:
[
\sqrt[3]{-\frac{64}{27}} = \frac{\sqrt[3]{-64}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{-4}{3}
]
Шаг 3: Вычисление четвертого корня
Для четвертого корня:
[
\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{2}
]
Теперь подставим это значение обратно в выражение:
[
\sqrt[3]{-\frac{64}{27}} + 8 \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = -\frac{4}{3} + 8 \cdot \frac{3}{2}
]
Шаг 4: Упрощение выражения
Вычислим (8 \cdot \frac{3}{2}):
[
8 \cdot \frac{3}{2} = 4 \cdot 3 = 12
]
Теперь можем подставить это значение обратно в выражение:
[
-\frac{4}{3} + 12
]
Шаг 5: Приведение к общему знаменателю
Чтобы сложить дроби, приведем (12) к знаменателю (3):
[
12 = \frac{36}{3}
]
Теперь можем сложить:
[
-\frac{4}{3} + \frac{36}{3} = \frac{-4 + 36}{3} = \frac{32}{3}
]
Ответ
Таким образом, окончательный результат:
[
\sqrt[3]{-2 \frac{10}{27}} + 8 \sqrt[4]{5 \frac{1}{16}} = \frac{32}{3}
]
