Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 2 м и 8 м. Боковое ребро равно 5 м. Найдите площадь полной поверхности и высоту пирамиды.

Чтобы решить задачу о правильной усеченной четырехугольной пирамиде, нам нужно найти площадь полной поверхности и высоту пирамиды, учитывая, что стороны оснований равны 2 м и 8 м, а боковое ребро равно 5 м. ### Шаг 1: Параметры пирамиды 1. **Основание**: В данной пирамиде имеются два квадрата в качестве оснований: - Нижнее основание (большее): сторона 8 м. - Верхнее основание (меньшее): сторона 2 м. 2. **Боковое ребро**: Ребро между основанием и верхним квадратом равно 5 м. ### Шаг 2: Высота пирамиды Для нахождения высоты усеченной пирамиды можно воспользоваться треугольником, образованным боковым ребром, высотой и половиной разности сторон оснований. Высота \( h \) связана с половиной разности сторон оснований \( \Delta \) и длиной бокового ребра \( a \): \[ \Delta = \frac{b - a}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3 \, \text{м} \] Формируем прямоугольный треугольник, где: - Высота \( h \) - искомая, - \( \Delta = 3 \) м, - боковое ребро (гипотенуза) = 5 м. Согласно теореме Пифагора: \[ h^2 + \Delta^2 = a^2 \] где \( a = 5 \, \text{м} \), \( \Delta = 3 \, \text{м} \). Подставляем значения: \[ h^2 + 3^2 = 5^2 \] \[ h^2 + 9 = 25 \] \[ h^2 = 25 - 9 \] \[ h^2 = 16 \] \[ h = 4 \, \text{м} \] ### Шаг 3: Площадь полной поверхности Площадь полной поверхности усеченной пирамиды складывается из площадей оснований и боковых сторон. 1. **Площадь оснований**: - Площадь нижнего основания = \( 8 \times 8 = 64 \, \text{м}^2 \) - Площадь верхнего основания = \( 2 \times 2 = 4 \, \text{м}^2 \) Итак, площадь оснований: \[ S_{оснований} = S_{нижнего} + S_{верхнего} = 64 + 4 = 68 \, \text{м}^2 \] 2. **Площадь боковых сторон**: Площадь боковых сторон означает площадь четырех треугольников. Каждый треугольник имеет основание, равное стороне одной из оснований, и высоту, равную высоте бокового ребра. Площадь треугольника можно рассчитать по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \] Для каждого бокового треугольника: - Для нижней стороны (8 м): - \( S_1 = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \, \text{м}^2 \) - Для верхней стороны (2 м): - \( S_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 5 = 5 \, \text{м}^2 \) Теперь переходим к боковым граням: - Боковые стороны (два треугольника с другой стороны): - Высота боковых треугольников будет такой же, но основания будут равны длинам сторон основания, которые мы уже посчитали. Итак, общая площадь боковых сторон: \[ S_{боковых} = 20 + 5 + 20 + 5 = 50 \, \text{м}^2 \] 3. **Площадь полной поверхности**: \[ S_{полной} = S_{оснований} + S_{боковых} = 68 + 50 = 118 \, \text{м}^2 \] ### Ответы: - **Высота**: \( 4 \, \text{м} \) - **Площадь полной поверхности**: \( 118 \, \text{м}^2 \) Если у вас есть дополнительные вопросы или вам требуется дополнительное объяснение, не стесняйтесь спрашивать!