Вычислите первообразную f(x) = cosxcosx + sin6xsinx.

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = \cos^2(x) + \sin(6x) \sin(x) \), используем известные формулы интегрирования и тригонометрические преобразования.

Шаг 1: Упрощение функции

Функция состоит из двух частей:

1. \( \cos^2(x) \)
2. \( \sin(6x) \sin(x) \)

Преобразуем первую часть:

Используем формулу приведения для \( \cos^2(x) \): \[ \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \]

Таким образом, первая часть примет вид: \[ \int \cos^2(x) \, dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx \]

Преобразуем вторую часть:

Используем формулу произведения синусов: \[ \sin(a) \sin(b) = \frac{1}{2} [\cos(a - b) - \cos(a + b)] \] Применим её к \( \sin(6x) \sin(x) \): \[ \sin(6x) \sin(x) = \frac{1}{2} [\cos(6x - x) - \cos(6x + x)] = \frac{1}{2} [\cos(5x) - \cos(7x)] \]

Теперь мы имеем: \[ \int \sin(6x) \sin(x) \, dx = \int \frac{1}{2} [\cos(5x) - \cos(7x)] \, dx \]

Шаг 2: Интегрирование

Теперь можем интегрировать обе части:

1. Интегрируем первую часть: \[ \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx \] \[ = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} + C_1 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C_1 \]

2. Интегрируем вторую часть: \[ \int \frac{1}{2} [\cos(5x) - \cos(7x)] \, dx = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin(5x)}{5} - \frac{\sin(7x)}{7} \right) + C_2 \] \[ = \frac{1}{10} \sin(5x) - \frac{1}{14} \sin(7x) + C_2 \]

Шаг 3: Сложим результаты

Теперь сложим обе интегралы вместе: \[ \int f(x) \, dx = \left( \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C_1 \right) + \left( \frac{1}{10} \sin(5x) - \frac{1}{14} \sin(7x) + C_2 \right) \]

Теперь можно объединить константы: \[ \int f(x) \, dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + \frac{1}{10} \sin(5x) - \frac{1}{14} \sin(7x) + C \]

где \( C = C_1 + C_2 \) — это произвольная константа интегрирования.

Ответ

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = \cos^2(x) + \sin(6x) \sin(x) \) записывается как:

\[ \int f(x) \, dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin(2x) + \frac{1}{10} \sin(5x) - \frac{1}{14} \sin(7x) + C \]

Это и есть искомое решение.