При каком наименьшем значении переменной сумма дробей r-3/6 и r/r-5 равна 3 1/6
Давайте решим задачу по шагам.
Записать уравнение:
Нам нужно найти наименьшее значение переменной \( r \), при котором сумма дробей\[ \frac{r - 3}{6} + \frac{r}{r - 5} \]
равна \( 3 \frac{1}{6} \). Преобразуем \( 3 \frac{1}{6} \) в неправильную дробь:
\[ 3 \frac{1}{6} = \frac{19}{6} \]
Запишем уравнение:
\[ \frac{r - 3}{6} + \frac{r}{r - 5} = \frac{19}{6} \]
Умножить обе стороны на 6:
Для удобства умножим обе стороны уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателей:\[ r - 3 + \frac{6r}{r - 5} = 19 \]
Преобразуем уравнение:
\[ r - 3 + \frac{6r}{r - 5} = 19 \]
Сначала упорядочим его:
\[ r + \frac{6r}{r - 5} = 22 \]
Выглядит как дробь:
Теперь нам нужно выразить все члены уравнения через общий знаменатель. Общим знаменателем является \( r - 5 \):\[ \frac{(r)(r - 5) + 6r}{r - 5} = 22 \]
Упрощаем:
\[ \frac{r^2 - 5r + 6r}{r - 5} = 22 \]
\[ \frac{r^2 + r}{r - 5} = 22 \]
Перемножаем и упрощаем:
Теперь перемножим обе стороны на \( r - 5 \):\[ r^2 + r = 22(r - 5) \]
Раскроем скобки:
\[ r^2 + r = 22r - 110 \]
Приведем все к одной стороне:
\[ r^2 + r - 22r + 110 = 0 \]
Это упрощается до:
\[ r^2 - 21r + 110 = 0 \]
Находим корни уравнения с помощью дискриминанта:
Используем формулу дискриминанта:\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1, b = -21, c = 110 \):
\[ D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 110 = 441 - 440 = 1 \]
Теперь найдём корни:
\[ r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 \pm 1}{2} \]
Таким образом, у нас два корня:
\[ r_1 = \frac{22}{2} = 11, \quad r_2 = \frac{20}{2} = 10 \]
Наименьшее значение:
Теперь мы можем определить наименьшее значение переменной \( r \):\[ r = 10 \]
Проверка:
Подставим \( r = 10 \) обратно в уравнение, чтобы убедиться, что это решение корректно:\[ \frac{10 - 3}{6} + \frac{10}{10 - 5} = \frac{7}{6} + 2 = \frac{7}{6} + \frac{12}{6} = \frac{19}{6} \]
Всё верно, решение подтверждается.
Ответ: Наименьшее значение переменной \( r \) равно 10.
