При каком наименьшем значении переменной сумма дробей r-3/6 и r/r-5 равна 3 1/6

Давайте решим задачу по шагам. 1. **Записать уравнение:** Нам нужно найти наименьшее значение переменной \( r \), при котором сумма дробей \[ \frac{r - 3}{6} + \frac{r}{r - 5} \] равна \( 3 \frac{1}{6} \). Преобразуем \( 3 \frac{1}{6} \) в неправильную дробь: \[ 3 \frac{1}{6} = \frac{19}{6} \] Запишем уравнение: \[ \frac{r - 3}{6} + \frac{r}{r - 5} = \frac{19}{6} \] 2. **Умножить обе стороны на 6:** Для удобства умножим обе стороны уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателей: \[ r - 3 + \frac{6r}{r - 5} = 19 \] Преобразуем уравнение: \[ r - 3 + \frac{6r}{r - 5} = 19 \] Сначала упорядочим его: \[ r + \frac{6r}{r - 5} = 22 \] 3. **Выглядит как дробь:** Теперь нам нужно выразить все члены уравнения через общий знаменатель. Общим знаменателем является \( r - 5 \): \[ \frac{(r)(r - 5) + 6r}{r - 5} = 22 \] Упрощаем: \[ \frac{r^2 - 5r + 6r}{r - 5} = 22 \] \[ \frac{r^2 + r}{r - 5} = 22 \] 4. **Перемножаем и упрощаем:** Теперь перемножим обе стороны на \( r - 5 \): \[ r^2 + r = 22(r - 5) \] Раскроем скобки: \[ r^2 + r = 22r - 110 \] Приведем все к одной стороне: \[ r^2 + r - 22r + 110 = 0 \] Это упрощается до: \[ r^2 - 21r + 110 = 0 \] 5. **Находим корни уравнения с помощью дискриминанта:** Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1, b = -21, c = 110 \): \[ D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 110 = 441 - 440 = 1 \] Теперь найдём корни: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 \pm 1}{2} \] Таким образом, у нас два корня: \[ r_1 = \frac{22}{2} = 11, \quad r_2 = \frac{20}{2} = 10 \] 6. **Наименьшее значение:** Теперь мы можем определить наименьшее значение переменной \( r \): \[ r = 10 \] 7. **Проверка:** Подставим \( r = 10 \) обратно в уравнение, чтобы убедиться, что это решение корректно: \[ \frac{10 - 3}{6} + \frac{10}{10 - 5} = \frac{7}{6} + 2 = \frac{7}{6} + \frac{12}{6} = \frac{19}{6} \] Всё верно, решение подтверждается. **Ответ:** Наименьшее значение переменной \( r \) равно 10.