В прямоугольном параллелепипеде ABCDA,B,C,D, рёбра AB, AD и АА, равны 4 см, 3 см и 11 см соответственно. Найдите угол между плоскостями ABD₁ и CBD₁
Для решения задачи нам необходимо найти угол между плоскостями ABD₁ и CBD₁ в прямоугольном параллелепипеде.
### Шаг 1: Определим координаты вершин
Прямоугольный параллелепипед имеет 8 вершин. Мы можем задать координаты его вершин, если положим A в начало координат:
- A (0, 0, 0)
- B (4, 0, 0)
- C (4, 3, 0)
- D (0, 3, 0)
- A₁ (0, 0, 11)
- B₁ (4, 0, 11)
- C₁ (4, 3, 11)
- D₁ (0, 3, 11)
### Шаг 2: Векторы в плоскостях
Теперь нам нужно найти векторы, которые будут лежать в плоскостях ABD₁ и CBD₁.
**Для плоскости ABD₁:**
- Вектор AB = B - A = (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0)
- Вектор AD = D - A = (0, 3, 0) - (0, 0, 0) = (0, 3, 0)
- Вектор AA₁ = A₁ - A = (0, 0, 11) - (0, 0, 0) = (0, 0, 11)
**Для плоскости CBD₁:**
- Вектор CB = B - C = (4, 0, 0) - (4, 3, 0) = (0, -3, 0)
- Вектор CD = D - C = (0, 3, 0) - (4, 3, 0) = (-4, 0, 0)
- Вектор CC₁ = C₁ - C = (4, 3, 11) - (4, 3, 0) = (0, 0, 11)
### Шаг 3: Нахождение нормалей плоскостей
Теперь найдем нормали к плоскостям ABD₁ и CBD₁.
**Нормаль к плоскости ABD₁:**
Для этого воспользуемся векторным произведением векторов AB и AD:
\[
\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AD} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
4 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0
\end{vmatrix}
= (0\cdot0 - 0\cdot3)\hat{i} - (4\cdot0 - 0\cdot0)\hat{j} + (4\cdot3 - 0\cdot0)\hat{k} = 0\hat{i} - 0\hat{j} + 12\hat{k} = (0, 0, 12)
\]
**Нормаль к плоскости CBD₁:**
Векторное произведение векторов CB и CD:
\[
\vec{n_2} = \vec{CB} \times \vec{CD} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & -3 & 0 \\
-4 & 0 & 0
\end{vmatrix}
= (0\cdot0 - 0\cdot(-3))\hat{i} - (0\cdot0 - (-4)\cdot0)\hat{j} + (0\cdot(-3) - (-4)\cdot0)\hat{k} = 0\hat{i} - 0\hat{j} + 12\hat{k} = (0, 0, 12)
\]
### Шаг 4: Нахождение угла
Угол между двумя нормалями можно найти с помощью скалярного произведения:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}
\]
Поскольку векторы имеют одинаковую направленность (они параллельны), угол между плоскостями равен \(0^\circ\).
Таким образом, угол между плоскостями ABD₁ и CBD₁ равен **0 градусов**.
