В прямоугольном параллелепипеде ABCDA,B,C,D, рёбра AB, AD и АА, равны 4 см, 3 см и 11 см соответственно. Найдите угол между плоскостями ABD₁ и CBD₁

Для решения задачи нам необходимо найти угол между плоскостями ABD₁ и CBD₁ в прямоугольном параллелепипеде.

Шаг 1: Определим координаты вершин

Прямоугольный параллелепипед имеет 8 вершин. Мы можем задать координаты его вершин, если положим A в начало координат:

• A (0, 0, 0)
• B (4, 0, 0)
• C (4, 3, 0)
• D (0, 3, 0)
• A₁ (0, 0, 11)
• B₁ (4, 0, 11)
• C₁ (4, 3, 11)
• D₁ (0, 3, 11)

Шаг 2: Векторы в плоскостях

Теперь нам нужно найти векторы, которые будут лежать в плоскостях ABD₁ и CBD₁.

Для плоскости ABD₁:

• Вектор AB = B - A = (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0)
• Вектор AD = D - A = (0, 3, 0) - (0, 0, 0) = (0, 3, 0)
• Вектор AA₁ = A₁ - A = (0, 0, 11) - (0, 0, 0) = (0, 0, 11)

Для плоскости CBD₁:

• Вектор CB = B - C = (4, 0, 0) - (4, 3, 0) = (0, -3, 0)
• Вектор CD = D - C = (0, 3, 0) - (4, 3, 0) = (-4, 0, 0)
• Вектор CC₁ = C₁ - C = (4, 3, 11) - (4, 3, 0) = (0, 0, 11)

Шаг 3: Нахождение нормалей плоскостей

Теперь найдем нормали к плоскостям ABD₁ и CBD₁.

Нормаль к плоскости ABD₁: Для этого воспользуемся векторным произведением векторов AB и AD: \[ \vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{vmatrix} = (0\cdot0 - 0\cdot3)\hat{i} - (4\cdot0 - 0\cdot0)\hat{j} + (4\cdot3 - 0\cdot0)\hat{k} = 0\hat{i} - 0\hat{j} + 12\hat{k} = (0, 0, 12) \]

Нормаль к плоскости CBD₁: Векторное произведение векторов CB и CD: \[ \vec{n_2} = \vec{CB} \times \vec{CD} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & 0 \\ -4 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0\cdot0 - 0\cdot(-3))\hat{i} - (0\cdot0 - (-4)\cdot0)\hat{j} + (0\cdot(-3) - (-4)\cdot0)\hat{k} = 0\hat{i} - 0\hat{j} + 12\hat{k} = (0, 0, 12) \]

Шаг 4: Нахождение угла

Угол между двумя нормалями можно найти с помощью скалярного произведения: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \]

Поскольку векторы имеют одинаковую направленность (они параллельны), угол между плоскостями равен \(0^\circ\).

Таким образом, угол между плоскостями ABD₁ и CBD₁ равен 0 градусов.