Давайте разберем данное тождество шаг за шагом.
Нам нужно доказать, что выражение ((x-a)(x-b)) равно (x^2 - (a+b)x + ab).
Шаг 1: Раскрытие скобок
Начнем с левой части тождества:
[
(x-a)(x-b)
]
Для раскрытия скобок мы используем дистрибутивный закон умножения (или, другими словами, формулу разности произведений):
[
(x-a)(x-b) = x \cdot x + x \cdot (-b) + (-a) \cdot x + (-a) \cdot (-b)
]
Шаг 2: Упрощение
Теперь распишем каждое произведение:
[
= x^2 - bx - ax + ab
]
Объединим подобные слагаемые (все слагаемые, содержащие (x)):
[
= x^2 - (b + a)x + ab
]
Шаг 3: Приведение к нужному виду
Мы можем переписать это выражение, поменяв местами (a) и (b) в скобках:
[
= x^2 - (a + b)x + ab
]
Заключение
Теперь мы видим, что получили ровно то, что и требовалось:
[
(x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab
]
Таким образом, мы доказали тождество.
Это тождество часто называется разложением квадратного трехчлена и демонстрирует, как произведение двух линейных множителей ведет к квадратному выражению.
