докажите тождество (x-a)(x-b)=x²-(a+b)x+ab

Давайте разберем данное тождество шаг за шагом.

Нам нужно доказать, что выражение \((x-a)(x-b)\) равно \(x^2 - (a+b)x + ab\).

Шаг 1: Раскрытие скобок

Начнем с левой части тождества: \[ (x-a)(x-b) \]

Для раскрытия скобок мы используем дистрибутивный закон умножения (или, другими словами, формулу разности произведений): \[ (x-a)(x-b) = x \cdot x + x \cdot (-b) + (-a) \cdot x + (-a) \cdot (-b) \]

Шаг 2: Упрощение

Теперь распишем каждое произведение: \[ = x^2 - bx - ax + ab \]

Объединим подобные слагаемые (все слагаемые, содержащие \(x\)): \[ = x^2 - (b + a)x + ab \]

Шаг 3: Приведение к нужному виду

Мы можем переписать это выражение, поменяв местами \(a\) и \(b\) в скобках: \[ = x^2 - (a + b)x + ab \]

Заключение

Теперь мы видим, что получили ровно то, что и требовалось: \[ (x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab \]

Таким образом, мы доказали тождество.

Это тождество часто называется разложением квадратного трехчлена и демонстрирует, как произведение двух линейных множителей ведет к квадратному выражению.