Завод планирует выпускать баки в форме цилиндра без крышки. Расчитай радиус основания и высоту бака, если его объём должен быть равен 103,823, при этом расход материала на его…

Для решения задачи о минимизации расхода материала при производстве цилиндрического бака без крышки с заданным объемом, давайте начнем с формул, которые нам понадобятся.

Шаг 1: Формулы объема и площади поверхности цилиндра

1. Объем цилиндра (V): \[ V = \pi r^2 h \] где \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота цилиндра.

2. Площадь поверхности цилиндра без крышки (S): \[ S = \pi r^2 + 2\pi rh \] Здесь первая часть \(\pi r^2\) — это площадь основания, а \(2\pi rh\) — это площадь боковой поверхности.

Шаг 2: Использование условия объема

Мы знаем, что объем бака должен быть равен 103,823: \[ \pi r^2 h = 103,823 \] Из этого уравнения можно выразить \( h \): \[ h = \frac{103,823}{\pi r^2} \]

Шаг 3: Подставка выразительного уравнения для площади поверхности

Теперь подставим выражение для \( h \) в формулу площади поверхности: \[ S = \pi r^2 + 2\pi r\left(\frac{103,823}{\pi r^2}\right) \] Упрощаем это уравнение: \[ S = \pi r^2 + \frac{2 \cdot 103,823}{r} \]

Шаг 4: Минимизация площади

Теперь нам необходимо минимизировать функцию: \[ S(r) = \pi r^2 + \frac{2 \cdot 103,823}{r} \]

Чтобы найти минимум, найдем производную \( S'(r) \) и приравняем её к нулю: \[ S'(r) = 2\pi r - \frac{2 \cdot 103,823}{r^2} \] Приравниваем к нулю: \[ 2\pi r - \frac{2 \cdot 103,823}{r^2} = 0 \] Умножим уравнение на \( r^2 \): \[ 2\pi r^3 - 2 \cdot 103,823 = 0 \] \[ \pi r^3 = 103,823 \] \[ r^3 = \frac{103,823}{\pi} \] Теперь найдём \( r \): \[ r = \sqrt[3]{\frac{103,823}{\pi}} \]

Шаг 5: Вычисление радиуса и высоты

Теперь подставим значение радиуса обратно в уравнение для высоты:

1. Сначала вычислим \( r \): \[ r \approx \sqrt[3]{\frac{103823}{3.14159}} \approx \sqrt[3]{33000} \approx 31.56 \text{ (приблизительно)} \]

2. Теперь подставим \( r \) в формулу для высоты: \[ h = \frac{103,823}{\pi (31.56)^2} \] \[ h \approx \frac{103823}{\pi \cdot 997.78} \approx \frac{103823}{3134.169} \approx 33.12 \text{ (приблизительно)} \]

Ответ

• Радиус основания цилиндра равен примерно 31.56.
• Высота цилиндра равна примерно 33.12.

Таким образом, для вашего цилиндрического бака без крышки с заданным объемом, радиус основания и высота, минимизирующие расход материала, составляют около 31.56 и 33.12 соответственно.