Выполни задание с фото

Чтобы сократить дробь \(\frac{12^{n+4} \cdot 5^{n+2}}{4^{n+1} \cdot 15^{n+2}}\), следуйте следующим шагам.

Шаг 1: Разложите числа на простые множители

1. \(12 = 2^2 \cdot 3\)
2. \(4 = 2^2\)
3. \(15 = 3 \cdot 5\)

Шаг 2: Подставьте разложенные числа в дробь

Подставим разложения в исходную дробь:

\[ \frac{(2^2 \cdot 3)^{n+4} \cdot 5^{n+2}}{(2^2)^{n+1} \cdot (3 \cdot 5)^{n+2}} \]

Шаг 3: Примените свойства степеней

Раскроем скобки, используя свойства степеней:

\[ = \frac{2^{2(n+4)} \cdot 3^{n+4} \cdot 5^{n+2}}{2^{2(n+1)} \cdot 3^{n+2} \cdot 5^{n+2}} \]

Шаг 4: Сократите дробь

Теперь сократим числитель и знаменатель:

• \(2^{2(n+4)} \) с \(2^{2(n+1)}\):

\[ 2^{2(n+4) - 2(n+1)} = 2^{2n+8 - 2n-2} = 2^6 \]

• \(3^{n+4} \) с \(3^{n+2}\):

\[ 3^{n+4 - (n+2)} = 3^2 \]

• \(5^{n+2} \) с \(5^{n+2}\) сокращается полностью.

Шаг 5: Запишите сокращенный результат

Таким образом, после сокращения мы получаем:

\[ \frac{2^6 \cdot 3^2}{1} \]

Теперь вычислим степени:

\[ 2^6 = 64, \quad 3^2 = 9 \]

Итак, результат:

\[ 64 \cdot 9 = 576 \]

Ответ: \(576\).