Чтобы сократить дробь (\frac{12^{n+4} \cdot 5^{n+2}}{4^{n+1} \cdot 15^{n+2}}), следуйте следующим шагам.
Шаг 1: Разложите числа на простые множители
- (12 = 2^2 \cdot 3)
- (4 = 2^2)
- (15 = 3 \cdot 5)
Шаг 2: Подставьте разложенные числа в дробь
Подставим разложения в исходную дробь:
[
\frac{(2^2 \cdot 3)^{n+4} \cdot 5^{n+2}}{(2^2)^{n+1} \cdot (3 \cdot 5)^{n+2}}
]
Шаг 3: Примените свойства степеней
Раскроем скобки, используя свойства степеней:
[
= \frac{2^{2(n+4)} \cdot 3^{n+4} \cdot 5^{n+2}}{2^{2(n+1)} \cdot 3^{n+2} \cdot 5^{n+2}}
]
Шаг 4: Сократите дробь
Теперь сократим числитель и знаменатель:
- (2^{2(n+4)} ) с (2^{2(n+1)}):
[
2^{2(n+4) - 2(n+1)} = 2^{2n+8 - 2n-2} = 2^6
]
[
3^{n+4 - (n+2)} = 3^2
]
- (5^{n+2} ) с (5^{n+2}) сокращается полностью.
Шаг 5: Запишите сокращенный результат
Таким образом, после сокращения мы получаем:
[
\frac{2^6 \cdot 3^2}{1}
]
Теперь вычислим степени:
[
2^6 = 64, \quad 3^2 = 9
]
Итак, результат:
[
64 \cdot 9 = 576
]
Ответ: (576).
