Найдите угол А в треугольнике в точках A(5;7) B (4,7) C(-7;-1)
Для нахождения угла \( A \) в треугольнике с вершинами \( A(5,7) \), \( B(4,7) \), \( C(-7,-1) \), воспользуемся векторным методом.
Найдем векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \):
\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 5, 7 - 7) = (-1, 0) \]
\[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-7 - 5, -1 - 7) = (-12, -8) \]
Вычислим скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \):
\( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-1) \times (-12) + 0 \times (-8) = 12 \)
Найдем длины векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \):
\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \]
\[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-12)^2 + (-8)^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \]
Используем формулу для косинуса угла между векторами:
\[ \cos A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \times |\overrightarrow{AC}|} \]
\[ \cos A = \frac{12}{1 \times 4\sqrt{13}} = \frac{12}{4\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \]
Найдем угол \( A \) через арккосинус:
\[ A = \cos^{-1} \left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) \]
Для точного значения можно воспользоваться калькулятором, но основная идея, что таким образом, мы нашли угол \( A \) через векторное произведение и длины векторов.
