дан усечённый конус h-13 r1-5 r2-11 Найти площадь поверхности , объем усечённого конуса
Чтобы найти площадь поверхности и объем усечённого конуса, давайте разберёмся с формулами и шагами.
Данные задачи:
- Высота (h) = 13
- Радиус основания 1 (r1) = 5
- Радиус основания 2 (r2) = 11
1. Объем усечённого конуса
Формула для объёма усечённого конуса выглядит так:
\[ V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) \]
Подставим известные значения:
\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 13 (5^2 + 5 \cdot 11 + 11^2) \]
Теперь посчитаем каждое слагаемое:
- \( 5^2 = 25 \)
- \( 11^2 = 121 \)
- \( 5 \cdot 11 = 55 \)
Теперь сложим их:
\[ 25 + 55 + 121 = 201 \]
Теперь подставим обратно в формулу для объёма:
\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 13 \cdot 201 \] \[ V = \frac{2613}{3} \pi \] \[ V = 871 \pi \]
Объём усечённого конуса равен \( 871 \pi \) кубических единиц.
2. Площадь поверхности усечённого конуса
Площадь поверхности усечённого конуса находится по формуле:
\[ S = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 + \pi (r_1 + r_2) l \]
где \( l \) — это образующая (длина наклонной стороны) усечённого конуса. Её можно найти по формуле:
\[ l = \sqrt{h^2 + (r_2 - r_1)^2} \]
В нашем случае \( r_1 \) и \( r_2 \):
- \( (r_2 - r_1) = (11 - 5) = 6 \)
Теперь найдем \( l \):
\[ l = \sqrt{13^2 + 6^2} = \sqrt{169 + 36} = \sqrt{205} \]
Теперь можем рассчитать площадь поверхности:
Площадь оснований: \[ S_1 = \pi r_1^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \] \[ S_2 = \pi r_2^2 = \pi \cdot 11^2 = 121\pi \]
Оберегаемая площадь: \[ S_{\text{бок}} = \pi (r_1 + r_2) l = \pi (5 + 11) \sqrt{205} = \pi \cdot 16 \sqrt{205} \]
Теперь суммируем площади:
\[ S = S_1 + S_2 + S_{\text{бок}} \] \[ S = 25\pi + 121\pi + 16\pi \sqrt{205} \] \[ S = 146\pi + 16\pi \sqrt{205} \]
Результаты:
- Объём усечённого конуса: \( 871 \pi \) кубических единиц.
- Площадь поверхности: \( 146\pi + 16\pi \sqrt{205} \) квадратных единиц.
Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам понять, как находить объём и площадь усечённого конуса!
