У филателиста 10 различных марок. Сколькими способами он может наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест?

Для решения задачи давайте разберем ее по шагам.

Шаг 1: Определение задачи.
У нас есть 10 различных марок и 6 пронумерованных мест, на которые мы можем наклеить 3 марки. Мы должны найти, сколько существует способов сделать это.

Шаг 2: Понимание выбора и размещения.
Поскольку марки различны, порядок их наклеивания важен. Это значит, что нам нужно учитывать как выбор марок, так и их размещение.

Шаг 3: Выбор марок.
Сначала мы выбираем 3 марки из 10. Количество способов выбрать 3 марки из 10 можно вычислить по формуле сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) — общее количество предметов (10 марок), а \( k \) — количество выбираемых предметов (3 марки).

Подставляем числа:

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]

Таким образом, существует 120 способов выбрать 3 марки.

Шаг 4: Размещение марок.
Теперь, после того как мы выбрали 3 марки, нужно разместить их на 6 пронумерованных местах. Поскольку места пронумерованы, количество способов разместить 3 марки на 6 местах можно подсчитать с помощью формулы размещений:

\[ A(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \]

где \( n \) — количество мест (6), а \( k \) — количество марок (3).

Подставляем числа:

\[ A(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120 \]

Шаг 5: Объединение результатов.
Теперь мы умножим количество способов выбрать марки на количество способов их разместить:

\[ \text{Общее количество способов} = C(10, 3) \times A(6, 3) = 120 \times 120 = 14400 \]

Ответ:
У филателиста есть 14400 способов наклеить 3 марки на 6 пронумерованных мест.