решить

Для решения задачи, нам нужно найти длины сторон прямоугольника, зная его площадь и периметр.

Имеется:

• Площадь прямоугольника: \( S = 210 \, \text{дм}^2 \)
• Периметр прямоугольника: \( P = 62 \, \text{дм} \)

Обозначим:

• Длину сторон прямоугольника как \( a \) и \( b \), где \( a < b \).

Формулы:

1. Площадь прямоугольника: \( S = a \times b \)
2. Периметр прямоугольника: \( P = 2(a + b) \)

Подставим известные значения в уравнения:

1. \( a \times b = 210 \)
2. \( 2(a + b) = 62 \) или проще: \( a + b = 31 \)

Теперь, используя второе уравнение, выразим \( b \) через \( a \): \[ b = 31 - a \]

Подставим это выражение для \( b \) в первое уравнение: \[ a \times (31 - a) = 210 \]

Раскроем скобки: \[ 31a - a^2 = 210 \]

Получаем квадратное уравнение: \[ a^2 - 31a + 210 = 0 \]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \times 1 \times 210 \] \[ D = 961 - 840 = 121 \]

Так как дискриминант положительный, у уравнения два действительных корня. Найдем их: \[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ a_{1,2} = \frac{31 \pm 11}{2} \]

Посчитаем корни: \[ a_1 = \frac{31 + 11}{2} = 21 \] \[ a_2 = \frac{31 - 11}{2} = 10 \]

Поскольку \( a < b \), то \( a = 10 \), следовательно, \( b = 21 \).

Ответ:

• Меньшая сторона: 10 дм,
• Большая сторона: 21 дм.