1. Каждый из двух стрелков независимо друг от друга произвёл выстрел по объекту. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; вторым - 0,6. Объект поражён одним…

Задача 1

Мы имеем двух стрелков с разными вероятностями попадания в цель:

• Вероятность попадания первого стрелка (P1) = 0,7
• Вероятность попадания второго стрелка (P2) = 0,6

Необходима вероятность того, что объект был поражён именно первым стрелком, если известно, что объект поражён.

Обозначения:

• Событие A: "объект поражён первым стрелком"
• Событие B: "объект поражён"

Нам нужно найти \( P(A | B) \) – вероятность того, что объект был поражён первым стрелком, при условии, что он был поражён.

Применим формулу условной вероятности:

\[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

1. Находим \( P(B) \) — вероятность, что объект будет поражён: Объект может быть поражён:

• первым стрелком
• вторым стрелком
• обоими стрелками одновременно

Мы можем использовать формулу для вероятности полной системы (объект поражается хотя бы одним стрелком): \[ P(B) = P(А) + P(Б) - P(А \cap Б) \]

Где:

• \( P(A) = P1 = 0,7 \) — вероятность попадания первым стрелком
• \( P(B) = P2 = 0,6 \) — вероятность попадания вторым стрелком
• \( P(A \cap B) = P1 \times P2 = 0,7 \times 0,6 = 0,42 \) — вероятность попадания обоими стрелками

Теперь подставим значения: \[ P(B) = 0,7 + 0,6 - 0,42 = 0,88 \]

2. Находим \( P(A \cap B) \) — вероятность, что объект был поражён первым стрелком. Эта вероятность равна \( P(A) \) (попадание первым стрелком), так как попадание первым стрелком уже включает в себя попадание в цель: \[ P(A \cap B) = P(A) = P1 = 0,7 \]

3. Теперь подставим найденные значения в формулу условной вероятности: \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.7}{0.88} \approx 0.7955 \]

Таким образом, вероятность того, что объект поражён первым стрелком, составляет приблизительно 0.796 или 79.6%.

Задача 2

В данной задаче нам необходимо найти вероятность нормальной работы линии, при условии, что в ней должно быть не менее 8 автобусов. У нас есть 10 автобусов, и вероятность того, что любой автобус не выйдет на линию, равна 0,1.

Определим:

• Вероятность выхода автобуса на линию = 1 - Вероятность невыхода = \( 1 - 0,1 = 0,9 \).

Обозначим количество не вышедших автобусов как \( X \). \( X \) подчиняется биномиальному распределению с параметрами \( n = 10 \) (количество автобусов) и \( p = 0,1 \) (вероятность невыхода).

Тогда: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент.

Мы ищем вероятность того, что не будет более 2 не вышедших автобусов (то есть как минимум 8 должно выйти):

• 0 не вышло
• 1 не вышел
• 2 не вышло

Посчитаем: \[ P(X = 0) = C(10, 0) \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^{10} \approx 0.3487 \] \[ P(X = 1) = C(10, 1) \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^{9} = 10 \cdot 0.1 \cdot (0.9)^{9} \approx 0.3874 \] \[ P(X = 2) = C(10, 2) \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^{8} = 45 \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^{8} \approx 0.1937 \]

Теперь, чтобы найти вероятность нормальной работы, сложим все три эти вероятности: \[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \approx 0.3487 + 0.3874 + 0.1937 = 0.9298 \]

Таким образом, вероятность нормальной работы линии в ближайший день составляет приблизительно 0.930 или 93%.