Задача 1
Мы имеем двух стрелков с разными вероятностями попадания в цель:
- Вероятность попадания первого стрелка (P1) = 0,7
- Вероятность попадания второго стрелка (P2) = 0,6
Необходима вероятность того, что объект был поражён именно первым стрелком, если известно, что объект поражён.
Обозначения:
- Событие A: "объект поражён первым стрелком"
- Событие B: "объект поражён"
Нам нужно найти ( P(A | B) ) – вероятность того, что объект был поражён первым стрелком, при условии, что он был поражён.
Применим формулу условной вероятности:
[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} ]
- Находим ( P(B) ) — вероятность, что объект будет поражён:
Объект может быть поражён:
- первым стрелком
- вторым стрелком
- обоими стрелками одновременно
Мы можем использовать формулу для вероятности полной системы (объект поражается хотя бы одним стрелком):
[
P(B) = P(А) + P(Б) - P(А \cap Б)
]
Где:
- ( P(A) = P1 = 0,7 ) — вероятность попадания первым стрелком
- ( P(B) = P2 = 0,6 ) — вероятность попадания вторым стрелком
- ( P(A \cap B) = P1 \times P2 = 0,7 \times 0,6 = 0,42 ) — вероятность попадания обоими стрелками
Теперь подставим значения:
[
P(B) = 0,7 + 0,6 - 0,42 = 0,88
]
Находим ( P(A \cap B) ) — вероятность, что объект был поражён первым стрелком.
Эта вероятность равна ( P(A) ) (попадание первым стрелком), так как попадание первым стрелком уже включает в себя попадание в цель:
[
P(A \cap B) = P(A) = P1 = 0,7
]
Теперь подставим найденные значения в формулу условной вероятности:
[
P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.7}{0.88} \approx 0.7955
]
Таким образом, вероятность того, что объект поражён первым стрелком, составляет приблизительно 0.796 или 79.6%.
Задача 2
В данной задаче нам необходимо найти вероятность нормальной работы линии, при условии, что в ней должно быть не менее 8 автобусов. У нас есть 10 автобусов, и вероятность того, что любой автобус не выйдет на линию, равна 0,1.
Определим:
- Вероятность выхода автобуса на линию = 1 - Вероятность невыхода = ( 1 - 0,1 = 0,9 ).
Обозначим количество не вышедших автобусов как ( X ). ( X ) подчиняется биномиальному распределению с параметрами ( n = 10 ) (количество автобусов) и ( p = 0,1 ) (вероятность невыхода).
Тогда:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент.
Мы ищем вероятность того, что не будет более 2 не вышедших автобусов (то есть как минимум 8 должно выйти):
- 0 не вышло
- 1 не вышел
- 2 не вышло
Посчитаем:
[
P(X = 0) = C(10, 0) \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^{10} \approx 0.3487
]
[
P(X = 1) = C(10, 1) \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^{9} = 10 \cdot 0.1 \cdot (0.9)^{9} \approx 0.3874
]
[
P(X = 2) = C(10, 2) \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^{8} = 45 \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^{8} \approx 0.1937
]
Теперь, чтобы найти вероятность нормальной работы, сложим все три эти вероятности:
[
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \approx 0.3487 + 0.3874 + 0.1937 = 0.9298
]
Таким образом, вероятность нормальной работы линии в ближайший день составляет приблизительно 0.930 или 93%.
