В научном школьном обществе мальчиков - 11 чел., а девочек - 9 чел. Случайным образом из членов общества выбирают двух учащихся на городскую конференцию. Какова вероятность того,…
В научном школьном обществе мальчиков - 11 чел., а девочек - 9 чел. Случайным образом из членов общества выбирают двух учащихся на городскую конференцию. Какова вероятность того, что среди выбранных двух человек окажется хотя бы одна девочка? (При необходимости ответ округли до сотых.)
Чтобы решить эту задачу, воспользуемся методом подсчёта вероятностей. В данном случае мы будем использовать правило вероятностей для нахождения вероятности события "в выбранной паре учащихся хотя бы одна девочка".
Всего участников:
- Мальчики: 11
- Девочки: 9
- Всего: \(11 + 9 = 20\) участников.
Общее количество способов выбрать 2 учащихся: Чтобы вычислить общее количество способов выбрать 2 учащихся из 20, используем формулу для сочетания: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \(n\) — общее количество участников, \(k\) — количество выбираемых участников. В нашем случае: \[ C(20, 2) = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190. \]
Вероятность события "хотя бы одна девочка": Для более простого расчета найдем вероятность противоположного события — события "два мальчика".
Количество способов выбрать 2 мальчика: Мы можем выбрать 2 мальчика из 11 следующим образом: \[ C(11, 2) = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55. \]
Вероятность события "два мальчика": Теперь можем найти вероятность того, что среди выбранных двух учащихся окажутся только мальчики: \[ P(\text{два мальчика}) = \frac{C(11, 2)}{C(20, 2)} = \frac{55}{190}. \]
Вероятность события "хотя бы одна девочка": Теперь вероятность того, что среди двух выбранных будет хотя бы одна девочка, равна: \[ P(\text{хотя бы одна девочка}) = 1 - P(\text{два мальчика}) = 1 - \frac{55}{190}. \] Упрощаем: \[ P(\text{хотя бы одна девочка}) = 1 - \frac{55}{190} = \frac{190 - 55}{190} = \frac{135}{190}. \]
Упрощение дроби: Упростим дробь: \[ \frac{135}{190} = \frac{27}{38}. \]
Окончательный ответ: Чтобы получить ответ в виде десятичной дроби, делим: \[ \frac{27}{38} \approx 0.7105. \] Округлим до сотых: \[ P \approx 0.71. \]
Таким образом, вероятность того, что среди выбранных двух учащихся будет хотя бы одна девочка, составляет примерно 0.71 (или 71%).
