катер прошёл 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. какова собственная скорость катера, если скорость течения 2км/ч
Чтобы решить задачу, давайте разберём её по шагам.
Определим переменные:
- Пусть скорость катера в стоячей воде (собственная скорость) равна \( v \) км/ч.
- Скорость течения реки равна \( 2 \) км/ч.
Скорость катера по течению и против течения:
- Когда катер движется по течению, его скорость будет \( v + 2 \) км/ч (потому что течения добавляет скорость).
- Когда катер движется против течения, его скорость будет \( v - 2 \) км/ч (потому что течение уменьшает скорость).
Время, затраченное на каждый участок пути:
- Время, затраченное на путь по течению (40 км): \[ t_1 = \frac{40}{v + 2} \]
- Время, затраченное на путь против течения (6 км): \[ t_2 = \frac{6}{v - 2} \]
Общее время на весь путь: По условию задачи, общее время \( t_1 + t_2 = 3 \) ч. Составим уравнение: \[ \frac{40}{v + 2} + \frac{6}{v - 2} = 3 \]
Решим уравнение: Умножим обе части уравнения на \( (v + 2)(v - 2) \) (чтобы избавиться от знаменателей): \[ 40(v - 2) + 6(v + 2) = 3(v + 2)(v - 2) \] Раскроем скобки: \[ 40v - 80 + 6v + 12 = 3(v^2 - 4) \] Объединим одночлены: \[ 46v - 68 = 3v^2 - 12 \] Приведем все к одной стороне: \[ 3v^2 - 46v + 56 = 0 \]
Решим квадратное уравнение: Используем формулу для решения квадратных уравнений \( v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 3, b = -46, c = 56 \): \[ v = \frac{46 \pm \sqrt{(-46)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56}}{2 \cdot 3} \] Вычислим дискриминант: \[ D = 2116 - 672 = 1444 \] \[ v = \frac{46 \pm 38}{6} \]
Теперь найдем корни: \[ v_1 = \frac{84}{6} = 14 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{8}{6} \approx 1.33 \]
Расмотрим результаты: Скорость катера \( v = 14 \) км/ч. Второй корень \( v \approx 1.33 \) км/ч не будет приемлемым, поскольку скорость катера против течения не может быть меньше скорости течения.
Ответ:
Собственная скорость катера составляет 14 км/ч.
