А

Привет! Давай вместе разберем это выражение по шагам. Нам нужно упростить дробь, где есть деление двух дробей.

У нас есть выражение:

\( \frac{4xy}{y^2 - x^2} \div \left( \frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} \right) \)

Сначала заметим, что \(y^2 - x^2\) – это разность квадратов, которую можно представить в виде \((y + x)(y - x)\). Также \(x^2 + 2xy + y^2\) является полным квадратом и равно \((x+y)^2\).

Подставим эти упрощения в исходное выражение:

\( \frac{4xy}{(y + x)(y - x)} \div \left( \frac{1}{(y + x)(y - x)} + \frac{1}{(x+y)^2} \right) \)

Преобразуем деление дробей, помня, что деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

\( \frac{4xy}{(y - x)(y + x)} \cdot \left( \frac{(y + x)(y - x)}{1} \cdot \frac{(x + y)^2}{(y + x)(y - x) + (x + y)^2} \right) \)

Теперь упростим эту дробь, уменьшив общие множители в числителе и знаменателе:

\( \frac{4xy}{1} \cdot \frac{(x + y)^2}{(y - x)(y + x) + (x + y)^2} \)

Заметим, что \((y - x)(y + x) + (x + y)^2\) можно представить как сумму квадрата суммы и произведения, которое также равно квадрату суммы, и получим:

\( \frac{4xy \cdot (x + y)^2}{(y - x)(y + x) + (x + y)(x + y)} = \frac{4xy \cdot (x + y)^2}{(x + y)^2 + (x + y)^2} = \frac{4xy \cdot (x + y)^2}{2(x + y)^2} \)

Теперь видно, что \((x + y)^2\) сокращается:

\( \frac{4xy}{2} = 2xy \)

Это и есть упрощенный ответ. Если есть ещё вопросы по этой или другой задаче, спрашивай!