Привет! Давай вместе разберем это выражение по шагам. Нам нужно упростить дробь, где есть деление двух дробей.
У нас есть выражение:
( \frac{4xy}{y^2 - x^2} \div \left( \frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} \right) )
Сначала заметим, что (y^2 - x^2) – это разность квадратов, которую можно представить в виде ((y + x)(y - x)). Также (x^2 + 2xy + y^2) является полным квадратом и равно ((x+y)^2).
Подставим эти упрощения в исходное выражение:
( \frac{4xy}{(y + x)(y - x)} \div \left( \frac{1}{(y + x)(y - x)} + \frac{1}{(x+y)^2} \right) )
Преобразуем деление дробей, помня, что деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
( \frac{4xy}{(y - x)(y + x)} \cdot \left( \frac{(y + x)(y - x)}{1} \cdot \frac{(x + y)^2}{(y + x)(y - x) + (x + y)^2} \right) )
Теперь упростим эту дробь, уменьшив общие множители в числителе и знаменателе:
( \frac{4xy}{1} \cdot \frac{(x + y)^2}{(y - x)(y + x) + (x + y)^2} )
Заметим, что ((y - x)(y + x) + (x + y)^2) можно представить как сумму квадрата суммы и произведения, которое также равно квадрату суммы, и получим:
( \frac{4xy \cdot (x + y)^2}{(y - x)(y + x) + (x + y)(x + y)} = \frac{4xy \cdot (x + y)^2}{(x + y)^2 + (x + y)^2} = \frac{4xy \cdot (x + y)^2}{2(x + y)^2} )
Теперь видно, что ((x + y)^2) сокращается:
( \frac{4xy}{2} = 2xy )
Это и есть упрощенный ответ. Если есть ещё вопросы по этой или другой задаче, спрашивай!
