В ходе некоторого случайного опыта событию А благоприятствуют 9 элементарных событий, событию В — 12 элементарных событий. 17 элементарных событий благоприятствуют событию А∪В.…
В ходе некоторого случайного опыта событию А благоприятствуют 9 элементарных событий, событию В — 12 элементарных событий. 17 элементарных событий благоприятствуют событию А∪В. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию: а) «событие А наступит, а событие В нет»; б) «событие В наступит, а событие А нет»; в) «наступит и событие А и событие В». Ответ: а) ; б) ; в) .
Давайте вместе разберёмся с задачей, используя основные понятия теории вероятностей и комбинаторики.
У нас есть два события A и B, каждое из которых может произойти в результате случайного опыта. Из условия задачи нам известны следующие данные:
- Количество элементарных событий, благоприятствующих событию A (обозначим это как |A|) = 9
- Количество элементарных событий, благоприятствующих событию B (обозначим это как |B|) = 12
- Количество элементарных событий, благоприятствующих объединению событий A и B (обозначим это как |A ∪ B|) = 17
Для решения задачи, мы будем использовать формулу включений-исключений:
\[ |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| \]
где |A ∩ B| — это количество элементарных событий, благоприятствующих одновременному наступлению событий A и B.
- Находим количество элементарных событий, благоприятствующих одновременному наступлению A и B:
Подставим известные значения в уравнение:
\[ 17 = 9 + 12 - |A ∩ B| \]
Сложим количество событий A и B:
\[ 17 = 21 - |A ∩ B| \]
Теперь решим уравнение относительно |A ∩ B|:
\[ |A ∩ B| = 21 - 17 = 4 \]
Итак, |A ∩ B| = 4. Это значит, что 4 элементарных события благоприятствуют одновременному наступлению событий A и B.
Теперь мы можем ответить на все части задачи.
а) Событие «событие A наступит, а событие B нет»:
Это событие включает все элементарные события, благоприятствующие A, за исключением тех, которые также благоприятствуют B. То есть:
\[ |A \text{ и не } B| = |A| - |A ∩ B| = 9 - 4 = 5 \]
Ответ: 5 элементарных событий благоприятствуют этому событию.
б) Событие «событие B наступит, а событие A нет»:
Это событие включает все элементарные события, благоприятствующие B, за исключением тех, которые также благоприятствуют A. То есть:
\[ |B \text{ и не } A| = |B| - |A ∩ B| = 12 - 4 = 8 \]
Ответ: 8 элементарных событий благоприятствуют этому событию.
в) Событие «наступит и событие A, и событие B»:
Этот случай мы уже рассмотрели ранее, это количество элементарных событий, благоприятствующих одновременному наступлению A и B:
\[ |A ∩ B| = 4 \]
Ответ: 4 элементарных события благоприятствуют этому событию.
Теперь у нас есть все ответы:
- а) 5
- б) 8
- в) 4
Если у вас остались вопросы по этой задаче или по другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
