12. На рисунке изображён остроугольный треугольник A B C ABC . Угол B B равен 72 72 градусам. A H AH , C F CF — высоты треугольника, пересекающиеся в точке O O . Найди угол F O H…

Для решения задачи начнем с анализа геометрических свойств треугольника и углов, связанных с его высотами.

1. Определение высот треугольника:

   • Высоты треугольника — это перпендикуляры, проведенные из вершин треугольника к противоположным сторонам. В данном случае высоты проведены из вершин A и C к основанию BC.

2. Исходные данные:

   • Углы треугольника AHB и AHC могут быть найдены с использованием известных свойств углов. Угол B равен 72 градусам.

3. Сумма углов в треугольнике:

   • В любом треугольнике сумма углов равна 180 градусам. В нашем случае: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] Отсюда получаем: \[ \angle A + 72^\circ + \angle C = 180^\circ \] Следовательно, \[ \angle A + \angle C = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \]

4. Свойства углов, связанных с высотами:

   • Если AH и CF — высоты, то углы, образованные этими высотами и основанием BC, равны:
     • Угол AHO (где O — точка пересечения высот) составляет (90 - угол A), т.е. \(90^\circ - \angle A\).
     • Угол CFO составляет (90 - угол C), т.е. \(90^\circ - \angle C\).

5. Поиск угла FOH:

   • Угол FOH является внешним углом для треугольника AOH, и при этом: \[ \angle FOH = \angle AHO + \angle CFO = (90^\circ - \angle A) + (90^\circ - \angle C) \] Подставляем: \[ \angle FOH = (90^\circ - \angle A) + (90^\circ - \angle C) = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ \]

Таким образом, угол FOH равен 72 градусам.

Ответ: \( \angle FOH = 72^\circ \).