Для решения задачи начнём с понимания, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, имеет уникальные свойства. В частности, она равна половине гипотенузы, и также мы можем использовать данные о тангенсе угла для нахождения сторон треугольника.
Шаг 1: Понять свойства медианы
Медиана, проведенная из угла прямого, делит гипотенузу пополам. Обозначим длины сторон треугольника:
- ( a ) — катет, противолежащий углу ( A )
- ( b ) — катет, противолежащий углу ( B )
- ( c ) — гипотенуза
По свойствам треугольника, где ( C ) — вершина прямого угла, медиана ( m ) из ( C ) вычисляется по формуле:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}
]
Так как ( c^2 = a^2 + b^2 ) (по теореме Пифагора), мы можем упростить формулу:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - (a^2 + b^2)} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2}
]
Мы знаем, что медиана ( m = \sqrt{10} ), поэтому:
[
\frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10}
]
Умножим обе стороны на 2:
[
\sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{10}
]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
[
a^2 + b^2 = 4 \cdot 10 = 40
]
Шаг 2: Использовать информацию о тангенсе
Мы знаем, что ( \tan B = 2 ). Это значит, что:
[
\tan B = \frac{a}{b} = 2 \implies a = 2b
]
Шаг 3: Подставить и решить систему уравнений
Подставим ( a = 2b ) в уравнение ( a^2 + b^2 = 40 ):
[
(2b)^2 + b^2 = 40
]
Это приводит к:
[
4b^2 + b^2 = 40 \implies 5b^2 = 40 \implies b^2 = 8 \implies b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
]
Теперь найдём ( a ):
[
a = 2b = 2(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}
]
Шаг 4: Найти гипотенузу
Теперь найдём ( c ) (гипотенуза):
[
c^2 = a^2 + b^2 = (4\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 32 + 8 = 40 \implies c = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
]
Шаг 5: Найти площадь треугольника
Площадь ( S ) треугольника ( ABC ) вычисляется по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
Теперь подставляем значения ( a ) и ( b ):
[
S = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = \frac{16}{2} = 8
]
Ответ
Площадь треугольника ( ABC ) равна 8.
