Медиана прямоугольного треугольника АВС, проведённая из вершины прямого угла С, равна корень из 10. Найдите площадь треугольника АВС, если tg угла B=2.

Для решения задачи начнём с понимания, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, имеет уникальные свойства. В частности, она равна половине гипотенузы, и также мы можем использовать данные о тангенсе угла для нахождения сторон треугольника.

Шаг 1: Понять свойства медианы

Медиана, проведенная из угла прямого, делит гипотенузу пополам. Обозначим длины сторон треугольника:

• \( a \) — катет, противолежащий углу \( A \)
• \( b \) — катет, противолежащий углу \( B \)
• \( c \) — гипотенуза

По свойствам треугольника, где \( C \) — вершина прямого угла, медиана \( m \) из \( C \) вычисляется по формуле:

\[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]

Так как \( c^2 = a^2 + b^2 \) (по теореме Пифагора), мы можем упростить формулу:

\[ m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - (a^2 + b^2)} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} \]

Мы знаем, что медиана \( m = \sqrt{10} \), поэтому:

\[ \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10} \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ \sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{10} \]

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

\[ a^2 + b^2 = 4 \cdot 10 = 40 \]

Шаг 2: Использовать информацию о тангенсе

Мы знаем, что \( \tan B = 2 \). Это значит, что:

\[ \tan B = \frac{a}{b} = 2 \implies a = 2b \]

Шаг 3: Подставить и решить систему уравнений

Подставим \( a = 2b \) в уравнение \( a^2 + b^2 = 40 \):

\[ (2b)^2 + b^2 = 40 \]

Это приводит к:

\[ 4b^2 + b^2 = 40 \implies 5b^2 = 40 \implies b^2 = 8 \implies b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Теперь найдём \( a \):

\[ a = 2b = 2(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} \]

Шаг 4: Найти гипотенузу

Теперь найдём \( c \) (гипотенуза):

\[ c^2 = a^2 + b^2 = (4\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 32 + 8 = 40 \implies c = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

Шаг 5: Найти площадь треугольника

Площадь \( S \) треугольника \( ABC \) вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Теперь подставляем значения \( a \) и \( b \):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = \frac{16}{2} = 8 \]

Ответ

Площадь треугольника \( ABC \) равна 8.