Решим неравенство ( \log_{3}(31x + 2) \leq 1 ).
Шаг 1: Преобразим неравенство
Начнем с преобразования логарифмического неравенства. Поскольку (\log_{3}(a) \leq 1) эквивалентно (a \leq 3^{1}) (где (a = 31x + 2)), можем записать:
[
31x + 2 \leq 3
]
Шаг 2: Переносим 2 на правую сторону
Теперь упростим неравенство, вычитая 2 из обеих сторон:
[
31x \leq 3 - 2
]
[
31x \leq 1
]
Шаг 3: Делим обе стороны на 31
Теперь разделим обе стороны на 31. Обратите внимание, что 31 — положительное число, поэтому знак неравенства не изменится:
[
x \leq \frac{1}{31}
]
Шаг 4: Проверка существования логарифма
Логарифм определён только тогда, когда его аргумент положителен. Поэтому необходимо, чтобы (31x + 2 > 0):
[
31x + 2 > 0
]
[
31x > -2
]
[
x > -\frac{2}{31}
]
Шаг 5: Объединяем неравенства
Теперь у нас два неравенства:
- (x \leq \frac{1}{31})
- (x > -\frac{2}{31})
Шаг 6: Записать общее решение
Объединим результаты, чтобы указать диапазон значений для (x):
[
-\frac{2}{31} < x \leq \frac{1}{31}
]
Ответ
Таким образом, решение данного неравенства:
[
x \in \left(-\frac{2}{31}, \frac{1}{31}\right]
]
Это означает, что (x) должно быть больше (-\frac{2}{31}) и меньше или равно (\frac{1}{31}).
