log31 ​(31x+2)≤1

Решим неравенство \( \log_{3}(31x + 2) \leq 1 \).

Шаг 1: Преобразим неравенство

Начнем с преобразования логарифмического неравенства. Поскольку \(\log_{3}(a) \leq 1\) эквивалентно \(a \leq 3^{1}\) (где \(a = 31x + 2\)), можем записать:

\[ 31x + 2 \leq 3 \]

Шаг 2: Переносим 2 на правую сторону

Теперь упростим неравенство, вычитая 2 из обеих сторон:

\[ 31x \leq 3 - 2 \] \[ 31x \leq 1 \]

Шаг 3: Делим обе стороны на 31

Теперь разделим обе стороны на 31. Обратите внимание, что 31 — положительное число, поэтому знак неравенства не изменится:

\[ x \leq \frac{1}{31} \]

Шаг 4: Проверка существования логарифма

Логарифм определён только тогда, когда его аргумент положителен. Поэтому необходимо, чтобы \(31x + 2 > 0\):

\[ 31x + 2 > 0 \] \[ 31x > -2 \] \[ x > -\frac{2}{31} \]

Шаг 5: Объединяем неравенства

Теперь у нас два неравенства:

1. \(x \leq \frac{1}{31}\)
2. \(x > -\frac{2}{31}\)

Шаг 6: Записать общее решение

Объединим результаты, чтобы указать диапазон значений для \(x\):

\[ -\frac{2}{31} < x \leq \frac{1}{31} \]

Ответ

Таким образом, решение данного неравенства:

\[ x \in \left(-\frac{2}{31}, \frac{1}{31}\right] \]

Это означает, что \(x\) должно быть больше \(-\frac{2}{31}\) и меньше или равно \(\frac{1}{31}\).