Реши неравенство x^2-121/27-x ≤ 0 методом интервалов и выбери получившиеся промежутки.
Чтобы решить неравенство \( \frac{x^2 - 121}{27} - x \leq 0 \), давайте сначала упростим его.
Переместим все части неравенства в одну сторону: \[ \frac{x^2 - 121}{27} - x \leq 0. \] Умножим все на 27, чтобы избавиться от дроби (так как 27 положительное, знак неравенства не изменится): \[ x^2 - 121 - 27x \leq 0. \] Это упростится до: \[ x^2 - 27x - 121 \leq 0. \]
Теперь найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 27x - 121 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-121) = 729 + 484 = 1213. \]
Запишем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 \pm \sqrt{1213}}{2}. \]
Теперь найдем приближенное значение корней: \[ \sqrt{1213} \approx 34.8. \] Тогда: \[ x_1 \approx \frac{27 + 34.8}{2} \approx \frac{61.8}{2} \approx 30.9, \] \[ x_2 \approx \frac{27 - 34.8}{2} \approx \frac{-7.8}{2} \approx -3.9. \]
Теперь у нас есть корни \( x_1 \approx 30.9 \) и \( x_2 \approx -3.9 \). Следовательно, у нас есть 2 значения, на которых будем основывать интервал.
Теперь определим тестовые интервалы, которые будут определяться корнями:
- \( (-\infty, -3.9) \)
- \( (-3.9, 30.9) \)
- \( (30.9, +\infty) \)
Теперь проверим знак нашего выражения \( x^2 - 27x - 121 \) на каждом интервале. Для этого можно взять одно значение из каждого интервала и подставить его в неравенство:
- Для \( x = -4 \) (в интервале \( (-\infty, -3.9) \)): \[ (-4)^2 - 27(-4) - 121 = 16 + 108 - 121 = 3 \quad (\text{положительно}). \]
- Для \( x = 0 \) (в интервале \( (-3.9, 30.9) \)): \[ 0^2 - 27 \cdot 0 - 121 = -121 \quad (\text{отрицательно}). \]
- Для \( x = 31 \) (в интервале \( (30.9, +\infty) \)): \[ 31^2 - 27 \cdot 31 - 121 = 961 - 837 - 121 = 3 \quad (\text{положительно}). \]
Теперь можем обозначить промежутки, на которых неравенство \( x^2 - 27x - 121 \leq 0 \):
- Отрицательные значения на интервале \( (-3.9, 30.9) \).
Так как мы искали \( \leq 0 \), то включим концы интервала (проверив в них значение):
- При \( x = -3.9 \) и \( x = 30.9 \) функция равна нулю.
Таким образом, решение неравенства: \[ [-3.9, 30.9]. \]
