Для нахождения количества способов выбрать 5 строителей из 9 и 3 маляра из 6, мы будем использовать формулу сочетаний.
Формула сочетаний CNk = n! / (k! * (n-k)!), где:
- n — общее количество элементов,
- k — количество выбираемых элементов,
- "!" обозначает факториал числа.
Шаг 1: Находим количество способов выбрать строителей
Мы хотим выбрать 5 строителей из 9. Мы используем формулу сочетаний:
[
C_{9}^{5} = \frac{9!}{5! \cdot (9-5)!} = \frac{9!}{5! \cdot 4!}
]
Теперь вычислим факториалы:
- 9! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
- 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
- 4! = 4 × 3 × 2 × 1
Теперь подставим:
[
C_{9}^{5} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1}
]
Вычисляем числитель:
[
9 \times 8 = 72
]
[
72 \times 7 = 504
]
[
504 \times 6 = 3024
]
Теперь числитель: 3024.
Вычисляем знаменатель:
[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
]
Теперь подставим и разделим:
[
C_{9}^{5} = \frac{3024}{24} = 126
]
Шаг 2: Находим количество способов выбрать маляров
Теперь найдем количество способов выбрать 3 маляра из 6:
[
C_{6}^{3} = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!}
]
Вычисляем факториалы:
- 6! = 6 × 5 × 4 × 3!
- 3! = 3 × 2 × 1 = 6
Теперь подставим и упростим:
[
C_{6}^{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20
]
Шаг 3: Находим общее количество способов
Теперь, чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество способов выбрать строителей и маляров:
[
\text{Общее количество способов} = C_{9}^{5} \cdot C_{6}^{3} = 126 \cdot 20
]
Считаем произведение:
[
126 \cdot 20 = 2520
]
Ответ
Таким образом, количество способов выделить 5 строителей и 3 маляра на ремонт актового зала составляет 2520 способов.
