Давайте разберем задачу на нахождение точек пересечения окружности и прямой. Нам даны уравнения:
- Окружность: ( x^2 + y^2 = 16 )
- Прямая: ( x + y = 0 )
Шаг 1: Выразим переменную из уравнения прямой
Из уравнения прямой можно выразить одну переменную через другую. В данном случае выразим ( y ):
[
y = -x
]
Шаг 2: Подставим это выражение в уравнение окружности
Теперь подставим ( y = -x ) в уравнение окружности:
[
x^2 + (-x)^2 = 16
]
Упрощаем:
[
x^2 + x^2 = 16
]
[
2x^2 = 16
]
Шаг 3: Найдем значение ( x )
Теперь разделим обе стороны уравнения на 2:
[
x^2 = 8
]
И найдем ( x ), извлекая квадратный корень:
[
x = \sqrt{8} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{8}
]
Это можно упростить:
[
x = 2\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x = -2\sqrt{2}
]
Шаг 4: Найдем соответствующие значения ( y )
Теперь подставим найденные ( x ) обратно в уравнение, где мы выразили ( y ):
- Для ( x = 2\sqrt{2} ):
[
y = -2\sqrt{2}
]
- Для ( x = -2\sqrt{2} ):
[
y = 2\sqrt{2}
]
Шаг 5: Запишем координаты точек пересечения
Теперь у нас есть две точки пересечения:
- ( (2\sqrt{2}, -2\sqrt{2}) )
- ( (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) )
Ответ
Координаты точек пересечения окружности и прямой:
- ( (2\sqrt{2}, -2\sqrt{2}) )
- ( (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) )
Таким образом, мы нашли точки, где окружность и прямая пересекаются, используя подстановку одного уравнения в другое.
