Диаметр шара радиуса 9 см разделен на 3 части, длины которых относятся как 1:2:3. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Найти объем образовавшегося…
Диаметр шара радиуса 9 см разделен на 3 части, длины которых относятся как 1:2:3. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Найти объем образовавшегося шарового слоя.
Для решения задачи найдем объем образовавшегося шарового слоя.
Находим диаметр и высоты для частей. Радиус шара \( R = 9 \) см, следовательно, диаметр \( D = 2R = 18 \) см.
Разделим диаметр на 3 части в отношении 1:2:3. Обозначим длины частей как \( x \), \( 2x \) и \( 3x \). Тогда:
\[ x + 2x + 3x = 6x = 18 \implies x = 3 \, \text{см} \]
Следовательно, длины частей равны:
- Первая часть: \( 3 \) см
- Вторая часть: \( 6 \) см
- Третья часть: \( 9 \) см
Отметим, что точки, где плоскости перпендикулярны диаметру, будут находиться на расстояниях:
- От начала (центра) до первой плоскости: \( 3 \) см
- От начала до второй плоскости: \( 9 \) см
- От начала до третьей плоскости: \( 18 \) см (это весь диаметр)
Находим объем шара. Объем полного шара рассчитывается по формуле: \[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
Подставляем радиус \( R = 9 \) см: \[ V = \frac{4}{3} \pi (9)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 729 = 972 \pi \, \text{см}^3 \]
Находим объем нижней части (с высотой 3 см). Для слоя от 0 до 3 см объем будет равен объему шарового сегмента: \[ V_1 = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R - h) \] где \( h = 3 \) см и \( R = 9 \) см.
Подставляем: \[ V_1 = \frac{1}{3} \pi (3^2)(3 \cdot 9 - 3) = \frac{1}{3} \pi (9)(27 - 3) = \frac{1}{3} \pi (9)(24) = 72 \pi \, \text{см}^3 \]
Находим объем средней части (с высотой 6 см). Для слоя от 3 см до 9 см. Объем будет равен: \[ V_2 = \text{Объем сферы с радиусом 9 см} - \text{Объем сферы с радиусом 6 см} \]
Объем полной сферы радиуса 9 см: \[ V_{9} = \frac{4}{3} \pi (9)^3 = 972 \pi \]
Объем полной сферы радиуса 6 см: \[ V_{6} = \frac{4}{3} \pi (6)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288 \pi \]
Объем средней части: \[ V_2 = 972 \pi - 288 \pi = 684 \pi \, \text{см}^3 \]
Находим объем верхней части (с высотой 9 см). Объем будет равен: \[ V_3 = \text{Объем сферы с радиусом 9 см} - \text{Объем сферы с радиусом 0 см (ноль)} \] Это просто: \[ V_3 = 972 \pi \]
Теперь суммируем объемы слоев:
- Первый слой: \( 72 \pi \)
- Второй слой: \( 684 \pi \)
- Третий слой: \( 972 \pi \)
Объем шарового слоя между уровнями 3 см и 9 см: \[ V = V_2 = 684 \pi \, \text{см}^3 \]
Таким образом, объем образовавшегося шарового слоя равен \( 684 \pi \, \text{см}^3 \).
