В летнем спортивном лагере есть несколько направлений: волейбол, футбол, баскетбол, бадминтон, лёгкая атлетика. Витя решил узнать, какие у него есть варианты, если он решит…

Чтобы решить эту задачу, давайте определим количество направлений, которые есть в летнем спортивном лагере, и посмотрим, сколько пар можно составить из этих направлений.

1. Количество направлений:
   У нас есть пять направлений:

   1. Волейбол
   2. Футбол
   3. Баскетбол
   4. Бадминтон
   5. Лёгкая атлетика

   Это означает, что \( n = 5 \) (количество направлений).

2. Выбор двух направлений:
   Мы хотим узнать, сколько различных комбинаций из двух направлений можно составить. В математике это называется сочетанием, и формула для вычисления числа сочетаний выглядит так:

   \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

   где:

   • \( n \) — общее количество предметов (в нашем случае - направлений),
   • \( k \) — количество выбираемых предметов (в нашем случае - 2 направления),
   • \( ! \) — факториал, который равен произведению всех натуральных чисел от 1 до данного числа.

3. Применяем формулу:
   Поставим значения в формулу:

   \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \]

   Подсчитаем факториалы:

   • \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
   • \( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
   • \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

   Теперь подставим эти значения:

   \[ C(5, 2) = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10 \]

4. Ответ:
   Таким образом, Витя может выбрать две разных направления в 10 различных вариантах.

Итак, Витя имеет 10 вариантов для записи сразу на два направления в летнем спортивном лагере.