Найди площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, высота боковой грани которой равна 6√3, а сторона основания — 5.

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать площади её основания и боковых граней. Рассмотрим вашу задачу подробно.

Шаг 1: Площадь основания

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

где \(a\) — сторона треугольника. В вашем случае сторона основания \(a = 5\).

Подставляем значение:

\[ S_{основания} = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \]

Шаг 2: Площадь боковых граней

Каждая боковая грань пирамиды тоже является равносторонним треугольником, но с другой высотой. Для того чтобы найти площадь одной боковой грани, нам нужно знать высоту боковой грани и длину основания (сторону основания).

Высота боковой грани (обозначим ее \(h\)) равна \(6\sqrt{3}\). Площадь равностороннего треугольника можно также выразить через высоту по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \]

В нашем случае основание равное стороне пирамиды \(5\), а высота боковой грани \(h = 6\sqrt{3}\). Подставляем значения:

\[ S_{боковой грани} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6\sqrt{3} = \frac{30\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \]

Так как у нас 3 боковые грани, общую площадь боковых граней можем найти, умножив площадь одной грани на 3:

\[ S_{боковых граней} = 3 \cdot 15\sqrt{3} = 45\sqrt{3} \]

Шаг 3: Полная площадь поверхности

Теперь нам нужно сложить площади основания и боковых граней для получения полной площади поверхности:

\[ S_{полная} = S_{основания} + S_{боковых граней} \]

Подставляем найденные площади:

\[ S_{полная} = \frac{25\sqrt{3}}{4} + 45\sqrt{3} \]

Чтобы сложить дробь и целое число, приведем \(45\sqrt{3}\) к общему знаменателю:

\[ 45\sqrt{3} = \frac{45 \cdot 4\sqrt{3}}{4} = \frac{180\sqrt{3}}{4} \]

Теперь можем сложить:

\[ S_{полная} = \frac{25\sqrt{3}}{4} + \frac{180\sqrt{3}}{4} = \frac{205\sqrt{3}}{4} \]

Ответ

Полная площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна:

\[ S_{полная} = \frac{205\sqrt{3}}{4} \]

Это и есть наше окончательное решение. Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимо уточнить что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!