(x+2)(x-7)<0
Чтобы решить неравенство \((x+2)(x-7)<0\), следуем следующему пошаговому процессу:
Шаг 1: Нахождение нулей выражения
Сначала определим, при каких значениях \(x\) произведение \((x+2)(x-7)\) равно нулю. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
- \(x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\)
- \(x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\)
Таким образом, точки, где произведение равно нулю, это \(x = -2\) и \(x = 7\).
Шаг 2: Определение промежутков
Теперь мы разделим числовую прямую на интервалы, используя найденные нули:
- Интервал 1: \((-\infty, -2)\)
- Интервал 2: \((-2, 7)\)
- Интервал 3: \((7, +\infty)\)
Шаг 3: Проверка знака на каждом интервале
Теперь нам нужно определить знак произведения \((x+2)(x-7)\) на каждом из интервалов. Для этого выберем тестовые точки из каждого интервала:
Для интервала \((-\infty, -2)\): возьмем, например, \(x = -3\): \[ (-3 + 2)(-3 - 7) = (-1)(-10) = 10 > 0 \]
Для интервала \((-2, 7)\): возьмем, например, \(x = 0\): \[ (0 + 2)(0 - 7) = (2)(-7) = -14 < 0 \]
Для интервала \((7, +\infty)\): возьмем, например, \(x = 8\): \[ (8 + 2)(8 - 7) = (10)(1) = 10 > 0 \]
Шаг 4: Обобщение знаков
Теперь мы можем обобщить знаки произведения в интервалах:
- На интервале \((-\infty, -2)\) произведение положительно: \(> 0\)
- На интервале \((-2, 7)\) произведение отрицательно: \(< 0\)
- На интервале \((7, +\infty)\) произведение положительно: \(> 0\)
Шаг 5: Поиск решений
Согласно условию \((x+2)(x-7)<0\), нас интересует только тот интервал, где произведение отрицательно. Это интервал \((-2, 7)\).
Шаг 6: Запись результата
Результатом решения неравенства является: \[ (-2, 7) \]
Таким образом, \(x\) может принимать любые значения из промежутка \((-2, 7)\) (при этом точки \( -2 \) и \( 7 \) не включаются, так как мы ищем строгое неравенство).
