В прямоугольном треугольнике АВС точка О - середина медианы СН, проведённая к гипотенузе АВ, АС равно 6 см, ВС равно 8 см. Найдите площадь треугольника ОВС.

Давайте решим задачу шаг за шагом. ### Шаг 1: Определим данные и сделаем необходимые вычисления Мы знаем, что у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где: - AC = 6 см (одна катета) - BC = 8 см (вторая катета) Для начала найдем длину гипотенузы AB с помощью теоремы Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ AB^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ AB^2 = 36 + 64 \] \[ AB^2 = 100 \] \[ AB = \sqrt{100} = 10 \, \text{см} \] ### Шаг 2: Найдем координаты точек треугольника Для удобства положим: - Точка A = (0, 0) - Точка B = (10, 0) - Точка C = (0, 6) ### Шаг 3: Найдем координаты точки C и медиану CH Медиана CH делит сторону AB пополам. Найдем точку D — середину AB: \[ D = \left(\frac{0 + 10}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (5, 0) \] Теперь найдем длину медианы CH по формуле: \[ CH = \sqrt{\left(5 - 0\right)^2 + \left(0 - 6\right)^2} = \sqrt{5^2 + (-6)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \] ### Шаг 4: Найдем координаты точки O Точка O — это середина отрезка CH. Найдем координаты точки H, для этого сначала найдем координаты точки C и затем точку H. Координаты D (середина AB) уже известны. Найдем H, используя координаты C (0, 6): \[ H = \left(\frac{5 + 0}{2}, \frac{0 + 6}{2}\right) = \left(2.5, 3\right) \] ### Шаг 5: Найдем координаты точки O Теперь находим точку O как середину CH. C у нас (0, 6) и H (5, 3): \[ O = \left(\frac{0 + 5}{2}, \frac{6 + 3}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right) = \left(2.5, 4.5\right) \] ### Шаг 6: Теперь мы можем найти площадь треугольника OBC Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \] Где: - \( (x_1, y_1) = O(2.5, 4.5) \) - \( (x_2, y_2) = B(10, 0) \) - \( (x_3, y_3) = C(0, 6) \) Теперь подставим координаты в формулу: \[ S = \frac{1}{2} \cdot |2.5(0 - 6) + 10(6 - 4.5) + 0(4.5 - 0)| \] \[ = \frac{1}{2} \cdot |2.5 \cdot (-6) + 10 \cdot 1.5| \] \[ = \frac{1}{2} \cdot |-15 + 15| = \frac{1}{2} \cdot |0| = 0 \] ### Шаг 7: Площадь треугольника OBC Давайте пересчитаем. Извините за потери: Ниже посчитаем иначе, можем использовать известную формулу: Поскольку треугольник ABC прямоугольный, \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC\) \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \, \text{см}^2 \] И так как O — середина CH, будет: \[ S_{OBC} = \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 24 = 6 \, \text{см}^2 \] ### Окончательный ответ **Площадь треугольника OBC равна 6 см².**