(x+2)(x+7<0

Чтобы решить неравенство \((x+2)(x+7) < 0\), давайте пройдем этот процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Найдите корни неравенства

Первым делом определим, когда произведение \((x+2)(x+7)\) равно нулю. Это произойдёт, когда каждый множитель равен нулю:

1. \(x + 2 = 0\)
   \(x = -2\)

2. \(x + 7 = 0\)
   \(x = -7\)

Таким образом, корни неравенства — это \(x = -2\) и \(x = -7\).

Шаг 2: Определите знаки на промежутках

Теперь необходимо разобрать каждую из интервалов, которые созданы этими корнями. Корни делят числовую ось на три промежутка:

1. \(x < -7\)
2. \(-7 < x < -2\)
3. \(x > -2\)

Мы будем проверять знак \((x+2)(x+7)\) на каждом из этих промежутков.

Промежуток \( (-\infty, -7) \):

Выберите, например, \(x = -8\): \[ (-8 + 2)(-8 + 7) = (-6)(-1) = 6 > 0 \] На этом промежутке знак положительный.

Промежуток \( (-7, -2) \):

Выберите, например, \(x = -5\): \[ (-5 + 2)(-5 + 7) = (-3)(2) = -6 < 0 \] На этом промежутке знак отрицательный.

Промежуток \( (-2, +\infty) \):

Выберите, например, \(x = 0\): \[ (0 + 2)(0 + 7) = (2)(7) = 14 > 0 \] На этом промежутке знак положительный.

Шаг 3: Подводим итоги

Теперь у нас есть следующие результаты по промежуткам:

• Для \(x < -7\) значение положительно.
• Для \(-7 < x < -2\) значение отрицательно.
• Для \(x > -2\) значение положительно.

Шаг 4: Запишите решение неравенства

Так как нам нужно, чтобы произведение было меньше нуля, нас интересует только второй промежуток: \[ -7 < x < -2 \]

Шаг 5: Запишите финальный ответ

Ответ: \[ (-7, -2) \]

Заключение

Мы нашли промежуток значений \(x\), при котором произведение \((x + 2)(x + 7)\) меньше нуля, что и требовалось по условию задачи.