Основания прямоугольной трапеции равны 5 и 13. Угол между боковой стороной и одним из оснований равен 135° . Найди площадь трапеции.
Для решения задачи о площади прямоугольной трапеции, давайте сначала разберем, что мы знаем и какие формулы будем использовать.
Дано:
- Два основания трапеции: \( a = 5 \) и \( b = 13 \) (где \( a \) — меньшее основание, \( b \) — большее основание).
- Угол между боковой стороной и одним из оснований \( \alpha = 135^\circ \).
Площадь трапеции: Площадь \( S \) трапеции можно найти по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \( h \) — высота трапеции.
Определение высоты: Чтобы найти высоту \( h \), возьмем один из углов. Угол \( \alpha = 135^\circ \) — это угол между боковой стороной и меньшим основанием \( a \). Высота может быть найдена через боковую сторону, которая образует этот угол.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \), боковой стороной \( c \) и проекцией боковой стороны на основание \( a \):
- Угол \( \alpha \) = \( 135^\circ \) соответствует углу, противолежащему высоте.
- Мы знаем, что: \[ h = c \cdot \sin(\alpha) \]
- Проекция на основание будет: \[ x = c \cdot \cos(\alpha) \]
Нахождение боковой стороны: Чтобы связать эти стороны с основаниями, есть следующее:
- Длина проекции боковой стороны \( c \) и \( a \): \[ x + b = 5 + 13 + x \]
- Полное отношение можно записать, но для нашей задачи это нам не нужно, так как у нас есть: \[ c \cdot \sin(135^\circ) = c \cdot \sin(180^\circ - 45^\circ) = c \cdot \sin(45^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Моделирование высоты через угол: Рассмотрим высоту \( h \) как: \[ h = b \cdot \sin(135^\circ) = b \cdot \sin(45^\circ) = 13 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Это можно сделать, если мы знаем длину боковой стороны, но поскольку основание по сути фиксировано, и у нас есть высота.
Теперь можем посчитать площадь: Подставляем в формулу: \[ S = \frac{(5 + 13) \cdot h}{2} \] Не забыв сначала найти \( h \), то: \[ h = 13 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Площадь: Сначала найдем высоту: \[ h = \frac{13\sqrt{2}}{2} \] Затем подставим: \[ S = \frac{(5 + 13) \cdot \frac{13\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{18 \cdot \frac{13\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{18 \cdot 13\sqrt{2}}{4} = \frac{234\sqrt{2}}{4} = \frac{117\sqrt{2}}{2} \]
Таким образом, площадь трапеции равна \( \frac{117\sqrt{2}}{2} \) квадратных единиц.
