Решить

Посмотрим каждое из уравнений по отдельности и решим их. **а) \(2^{x+3} \cdot 2^{x-1} = 1\):** 1. Упростим левую часть уравнения. Используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \[ 2^{x+3} \cdot 2^{x-1} = 2^{(x+3) + (x-1)} = 2^{2x+2} \] 2. Уравнение принимает вид: \[ 2^{2x+2} = 1 \] 3. Заметим, что \(2^0 = 1\). Следовательно, \(2x + 2 = 0\). 4. Решим это уравнение: \[ 2x + 2 = 0 \implies 2x = -2 \implies x = -1 \] **б) \(2^{x+3} - 2^{x+1} = 12\):** 1. Вынесем общий множитель \(2^{x+1}\) из левой части: \[ 2^{x+3} - 2^{x+1} = 2^{x+1}(2^2 - 1) = 2^{x+1} \cdot 3 \] 2. Уравнение принимает вид: \[ 2^{x+1} \cdot 3 = 12 \] 3. Разделим обе стороны на 3: \[ 2^{x+1} = 4 \] 4. Преобразуем 4 как \(2^2\): \[ 2^{x+1} = 2^2 \] 5. Из равенства степеней следует, что: \[ x+1 = 2 \implies x = 1 \] **в) \(4 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 1 = 0\):** 1. Заменим \(2^x = t\): \[ 4t^2 - 5t + 1 = 0 \] 2. Это квадратное уравнение, решим его через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). - Здесь \(a = 4\), \(b = -5\), \(c = 1\). \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 \] 3. Найдем корни: \[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{8} \] \[ t_1 = \frac{5 + 3}{8} = 1, \quad t_2 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{1}{4} \] 4. Обратно подставим \(2^x = t\): - Для \(t_1 = 1\): \(2^x = 1 \), отсюда \( x = 0 \). - Для \(t_2 = \frac{1}{4}\): \(2^x = \frac{1}{4}\), значит \(x = -2\). Итак, решения уравнений: - а) \(x = -1\) - б) \(x = 1\) - в) \(x = 0\) и \(x = -2\)