Решить

Посмотрим каждое из уравнений по отдельности и решим их.

а) \(2^{x+3} \cdot 2^{x-1} = 1\):

1. Упростим левую часть уравнения. Используем свойство степеней \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):

   \[ 2^{x+3} \cdot 2^{x-1} = 2^{(x+3) + (x-1)} = 2^{2x+2} \]

2. Уравнение принимает вид:

   \[ 2^{2x+2} = 1 \]

3. Заметим, что \(2^0 = 1\). Следовательно, \(2x + 2 = 0\).

4. Решим это уравнение:

   \[ 2x + 2 = 0 \implies 2x = -2 \implies x = -1 \]

б) \(2^{x+3} - 2^{x+1} = 12\):

1. Вынесем общий множитель \(2^{x+1}\) из левой части:

   \[ 2^{x+3} - 2^{x+1} = 2^{x+1}(2^2 - 1) = 2^{x+1} \cdot 3 \]

2. Уравнение принимает вид:

   \[ 2^{x+1} \cdot 3 = 12 \]

3. Разделим обе стороны на 3:

   \[ 2^{x+1} = 4 \]

4. Преобразуем 4 как \(2^2\):

   \[ 2^{x+1} = 2^2 \]

5. Из равенства степеней следует, что:

   \[ x+1 = 2 \implies x = 1 \]

в) \(4 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 1 = 0\):

1. Заменим \(2^x = t\):

   \[ 4t^2 - 5t + 1 = 0 \]

2. Это квадратное уравнение, решим его через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\).

   • Здесь \(a = 4\), \(b = -5\), \(c = 1\).

   \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 \]

3. Найдем корни:

   \[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{8} \]

   \[ t_1 = \frac{5 + 3}{8} = 1, \quad t_2 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{1}{4} \]

4. Обратно подставим \(2^x = t\):

   • Для \(t_1 = 1\): \(2^x = 1 \), отсюда \( x = 0 \).

   • Для \(t_2 = \frac{1}{4}\): \(2^x = \frac{1}{4}\), значит \(x = -2\).

Итак, решения уравнений:

• а) \(x = -1\)
• б) \(x = 1\)
• в) \(x = 0\) и \(x = -2\)