Точку A ( 6 ; − 6 ) A(6;−6) повернули вокруг начала координат на 4 5 ∘ 45 ∘ против часовой стрелки. Найди координаты полученной точки. Выбери верный вариант.
Чтобы найти координаты точки \( A(6; -6) \) после её поворота на \( 45^\circ \) против часовой стрелки вокруг начала координат, следуем пошагово:
Шаг 1: Определение начальных координат
Начальная точка: \[ (x, y) = (6, -6) \]
Шаг 2: Использование формулы для поворота точки
Формула для поворота точки \( (x, y) \) на угол \( \theta \) против часовой стрелки вокруг начала координат:
\[ \begin{align*} x' &= x \cdot \cos(\theta) + y \cdot \sin(\theta) \\ y' &= -x \cdot \sin(\theta) + y \cdot \cos(\theta) \end{align*} \]
где:
- \( x' \) и \( y' \) — новые координаты,
- \( \theta \) — угол поворота, в радианах.
Шаг 3: Преобразование угла в радианы
Поскольку \( 45^\circ \) это \( \frac{\pi}{4} \) радиан, мы можем сейчас использовать значение \( \cos\) и \( \sin\):
\[ \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Шаг 4: Подстановка в формулы
Теперь подставим эти значения в формулы:
Для \( x' \): \[ x' = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-6) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \]
Для \( y' \): \[ y' = -6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-6) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -6\sqrt{2} \]
Шаг 5: Получение новых координат
Таким образом, координаты повёрнутой точки \( A \) будут: \[ (0; -6\sqrt{2}) \]
Ответ
Координаты полученной точки после поворота на \( 45^\circ \) против часовой стрелки вокруг начала координат: \( (0; -6\sqrt{2}) \).
Если есть варианты ответов, вам нужно выбрать тот, который соответствует этому результату.
