Вершины треугольника A B C ABC заданы координатами A ( 1 ; 4 ) A(1;4) , B ( 3 ; 8 ) B(3;8) , C ( 6 ; 4 ) C(6;4) . Найди координаты вершин A 1 A 1 и B 1 B 1 треугольника A 1 B 1 C…

Чтобы найти координаты вершин нового треугольника \(A_1B_1C\), полученного поворотом треугольника \(ABC\) вокруг точки \(C\) на \(90^\circ\) по часовой стрелке, следуем следующему алгоритму:

Шаг 1: Понять, что такое поворот точки

Поворот точки \((x, y)\) на угол \(\theta\) вокруг другой точки \((x_c, y_c)\) можно описать следующими формулами:

1. Сначала перемещаем точку в новую систему координат, где центр поворота станет началом координат: \[ x' = x - x_c \] \[ y' = y - y_c \]

2. Затем поворачиваем точку на угол \(\theta\): \[ x'' = x' \cdot \cos(\theta) - y' \cdot \sin(\theta) \] \[ y'' = x' \cdot \sin(\theta) + y' \cdot \cos(\theta) \]

3. Затем возвращаем точку в исходную систему координат: \[ x_{new} = x'' + x_c \] \[ y_{new} = y'' + y_c \]

Шаг 2: Определить координаты вершин треугольника

У нас есть координаты вершин:

• \(A(1, 4)\)
• \(B(3, 8)\)
• \(C(6, 4)\)

Шаг 3: Поворот каждой из вершин \(A\) и \(B\) на \(90^\circ\) по часовой стрелке вокруг точки \(C\)

Для точки \(A(1, 4)\):

1. Перемещение в новую систему координат относительно точки \(C(6, 4)\): \[ x' = 1 - 6 = -5 \] \[ y' = 4 - 4 = 0 \]

2. Поворот на \(90^\circ\) по часовой стрелке (\(\theta = -90^\circ\)): \[ \cos(-90^\circ) = 0, \quad \sin(-90^\circ) = -1 \] \[ x'' = -5 \cdot 0 - 0 \cdot (-1) = 0 \] \[ y'' = -5 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = 5 \]

3. Возвращение в исходную систему координат: \[ x_{A_1} = 0 + 6 = 6 \] \[ y_{A_1} = 5 + 4 = 9 \] Таким образом, \(A_1(6, 9)\).

Для точки \(B(3, 8)\):

1. Перемещение в новую систему координат: \[ x' = 3 - 6 = -3 \] \[ y' = 8 - 4 = 4 \]

2. Поворот на \(90^\circ\) по часовой стрелке: \[ x'' = -3 \cdot 0 - 4 \cdot (-1) = 4 \] \[ y'' = -3 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 = 3 \]

3. Возвращение в исходную систему координат: \[ x_{B_1} = 4 + 6 = 10 \] \[ y_{B_1} = 3 + 4 = 7 \] Таким образом, \(B_1(10, 7)\).

Шаг 4: Итоговые координаты

После выполнения всех шагов мы получаем:

• \(A_1(6, 9)\)
• \(B_1(10, 7)\)
• \(C(6, 4)\) (C осталась на месте)

Таким образом, координаты вершин треугольника \(A_1B_1C\):

• \(A_1(6, 9)\)
• \(B_1(10, 7)\)
• \(C(6, 4)\)