В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ = 13, ВС= 12. Найти синус, косинус и тангенс угла В
Чтобы решить задачу, начнем с анализа данных:
У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где:
- угол C = 90° (это значит, что треугольник прямоугольный),
- сторона AB (гипотенуза) = 13,
- сторона BC (Катет, который противолежит углу B) = 12.
Теперь, чтобы найти синус, косинус и тангенс угла B, нам нужно сначала определить длину стороны AC (второго катета). В прямоугольном треугольнике мы можем использовать теорему Пифагора:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
где c — длина гипотенузы, а a и b — длины катетов. В нашей задаче:
- \( c = AB = 13 \),
- \( a = BC = 12 \),
- \( b = AC \) (должны найти это значение).
Подставим известные значения в формулу:
\[ 13^2 = 12^2 + AC^2 \]
Выполним вычисления:
\[ 169 = 144 + AC^2 \]
Вычтем 144 из обеих сторон:
\[ 169 - 144 = AC^2 \] \[ 25 = AC^2 \]
Теперь найдем AC, взяв квадратный корень из 25:
\[ AC = 5 \]
Теперь у нас есть все стороны треугольника:
- AB = 13 (гипотенуза),
- BC = 12 (катет против угла B),
- AC = 5 (катет смежный с углом B).
Теперь, используя эти значения, мы можем найти синус, косинус и тангенс угла B:
Синус угла B (sin B): Синус угла B определяется как отношение катета, противоположного углу B, к гипотенузе:
\[ \sin B = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13} \]
Косинус угла B (cos B): Косинус угла B определяется как отношение катета, смежного с углом B, к гипотенузе:
\[ \cos B = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13} \]
Тангенс угла B (tan B): Тангенс угла B определяется как отношение катета, противоположного углу B, к катету, смежному с углом B:
\[ \tan B = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5} \]
Теперь подытожим найденные значения:
- \( \sin B = \frac{12}{13} \)
- \( \cos B = \frac{5}{13} \)
- \( \tan B = \frac{12}{5} \)
Таким образом, мы нашли значения синуса, косинуса и тангенса угла B в треугольнике ABC.
