Чтобы составить уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через конкретную точку, давайте разберем задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Найти коэффициент наклона параллельной прямой
Уравнение прямой, заданное в задаче:
[ 2.3x - 8.7 ]
Это уравнение можно привести к стандартной форме:
[ y = kx + b ]
Однако сначала нужно проверить, что это действительно уравнение прямой. Если у нас ( 2.3x - 8.7 ) — это, скорее всего, опечатка, и вы имеете в виду уравнение вида ( 2x + 3y - 8 = 0 ).
Приведем это уравнение к форме ( y = kx + b ):
Из уравнения ( 2x + 3y - 8 = 0 ) выразим ( y ):
[ 3y = -2x + 8 ]
[ y = -\frac{2}{3}x + \frac{8}{3} ]
Теперь мы видим, что наклон линии ( k = -\frac{2}{3} ).
Параллельная прямая будет иметь тот же наклон ( k = -\frac{2}{3} ).
Шаг 2: Найти координаты центра окружности
У нас есть уравнение окружности:
[ x^2 + y^2 - 6x - 10y - 15 = 0 ]
Чтобы найти центр окружности, преобразуем это уравнение в стандартную форму окружности. Для этого упростим его:
Группируем ( x ) и ( y ):
[ (x^2 - 6x) + (y^2 - 10y) = 15 ]
Завершим квадрат для каждой переменной.
Для ( x^2 - 6x ):
[ x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 ]
Для ( y^2 - 10y ):
[ y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25 ]
Теперь подставим обратно:
[(x - 3)^2 - 9 + (y - 5)^2 - 25 = 15]
Упрощаем:
[(x - 3)^2 + (y - 5)^2 - 34 = 15]
[(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 49]
Теперь мы можем увидеть, что центр окружности находится в точке ((3; 5)).
Шаг 3: Написать уравнение параллельной прямой
Теперь, зная, что прямая, которую мы ищем, проходит через точку ((3; 5)) и имеет наклон (-\frac{2}{3}), можем записать уравнение прямой в точечной форме уравнения:
[ y - y_0 = k(x - x_0) ]
Где ((x_0, y_0) = (3, 5)) и (k = -\frac{2}{3}):
[ y - 5 = -\frac{2}{3}(x - 3) ]
Теперь раскрываем скобки:
[ y - 5 = -\frac{2}{3}x + 2 ]
Переносим все в одну сторону:
[ y = -\frac{2}{3}x + 7 ]
Ответ:
Уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через центр окружности, представлено в виде:
[ y = -\frac{2}{3}x + 7 ]
Таким образом, мы успешно составили требуемое уравнение.
