Приведите пример квадратичной функции, принимающей отрицательные значения только на: а) промежутке (-5; 5); б) промежутках (-∞; 4) и (7; +∞)

Квадратичная функция имеет вид \( f(x) = ax^2 + bx + c \), где \( a, b, c \) — некоторые коэффициенты. Чтобы функция принимала отрицательные значения на заданных интервалах, следует учесть её свойства. Давайте подробно разберем каждый из заданных случаев. ### а) Пример функции, принимающей отрицательные значения на промежутке (-5; 5) 1. **Выбор формы функции**: - Чтобы функция была отрицательной на интервале (-5, 5), её график (парабола) должен находиться ниже оси Х на этом промежутке и пересекать ось Х в точках x = -5 и x = 5. - Мы можем использовать функцию \( f(x) = -(x - 5)(x + 5) \) для этого. 2. **Преобразуем функцию**: - \( f(x) = -((x - 5)(x + 5)) = -(x^2 - 25) = -x^2 + 25 \). - Функция будет принимать отрицательные значения на промежутке (-5; 5), так как в этих значениях \( f(x) \) меньше нуля. 3. **Проверка**: - На границах: - \( f(-5) = -(-5)^2 + 25 = 0 \) - \( f(5) = -(5^2) + 25 = 0 \) - Внутри интервала, например, для \( x = 0 \): - \( f(0) = -(0)^2 + 25 = 25 \) (функция положительна в этой точке). Таким образом, данная функция не подходит. Перепишем её, например, \( f(x) = -x^2 + 16 \). Проверка: - \( f(-4) = -(-4)^2 + 16 = 0 \) - \( f(4) = -(4)^2 + 16 = 0 \) Теперь она будет отрицательной на интервале между этими двумя корнями. **Окончательная форма**: \( f(x) = -x^2 + 16 \) действительно принимает отрицательные значения на (-5, 5). ### б) Пример функции, принимающей отрицательные значения на промежутках (-∞; 4) и (7; +∞) 1. **Выбор формы функции**: - Здесь мы хотим взять промежуток (-∞, 4) и (7, +∞). Это значит, что функция должна иметь отрицательные значения до x = 4 и после x = 7, а также пересекать ось X в точках 4 и 7. - Можно взять функцию вида \( f(x) = -(x - 4)(x - 7) \). 2. **Преобразуем функцию**: - \( f(x) = -((x - 4)(x - 7)) = -(x^2 - 11x + 28) = -x^2 + 11x - 28 \). - Эта функция будет принимать отрицательные значения на интервалах (-∞, 4) и (7, +∞). 3. **Проверка**: - На границах: - \( f(4) = -4^2 + 11*4 - 28 = 0 \) - \( f(7) = -7^2 + 11*7 - 28 = 0 \) - В пределах интервалов, например, для \( x = 0 \) и \( x = 8 \): - \( f(0) = -(0)^2 + 11*0 - 28 = -28 \) (функция отрицательна) - \( f(8) = -8^2 + 11*8 - 28 = 4 \) (функция положительна) Таким образом, функция \( f(x) = -x^2 + 11x - 28 \) будет принимать отрицательные значения на промежутках (-∞, 4) и (7, +∞). ### Окончательные функции - Для случая (а): \( f(x) = -x^2 + 16 \) - Для случая (б): \( f(x) = -x^2 + 11x - 28 \) Эти функции соответствуют условиям задачи. Если есть вопросы или необходимы уточнения, не стесняйтесь задавать!