Приведите пример квадратичной функции, принимающей отрицательные значения только на: а) промежутке (-5; 5); б) промежутках (-∞; 4) и (7; +∞)

Квадратичная функция имеет вид \( f(x) = ax^2 + bx + c \), где \( a, b, c \) — некоторые коэффициенты. Чтобы функция принимала отрицательные значения на заданных интервалах, следует учесть её свойства.

Давайте подробно разберем каждый из заданных случаев.

а) Пример функции, принимающей отрицательные значения на промежутке (-5; 5)

1. Выбор формы функции:

   • Чтобы функция была отрицательной на интервале (-5, 5), её график (парабола) должен находиться ниже оси Х на этом промежутке и пересекать ось Х в точках x = -5 и x = 5.
   • Мы можем использовать функцию \( f(x) = -(x - 5)(x + 5) \) для этого.

2. Преобразуем функцию:

   • \( f(x) = -((x - 5)(x + 5)) = -(x^2 - 25) = -x^2 + 25 \).
   • Функция будет принимать отрицательные значения на промежутке (-5; 5), так как в этих значениях \( f(x) \) меньше нуля.

3. Проверка:

   • На границах:
     • \( f(-5) = -(-5)^2 + 25 = 0 \)
     • \( f(5) = -(5^2) + 25 = 0 \)
   • Внутри интервала, например, для \( x = 0 \):
     • \( f(0) = -(0)^2 + 25 = 25 \) (функция положительна в этой точке).

Таким образом, данная функция не подходит. Перепишем её, например, \( f(x) = -x^2 + 16 \). Проверка:

• \( f(-4) = -(-4)^2 + 16 = 0 \)
• \( f(4) = -(4)^2 + 16 = 0 \)

Теперь она будет отрицательной на интервале между этими двумя корнями.

Окончательная форма: \( f(x) = -x^2 + 16 \) действительно принимает отрицательные значения на (-5, 5).

б) Пример функции, принимающей отрицательные значения на промежутках (-∞; 4) и (7; +∞)

1. Выбор формы функции:

   • Здесь мы хотим взять промежуток (-∞, 4) и (7, +∞). Это значит, что функция должна иметь отрицательные значения до x = 4 и после x = 7, а также пересекать ось X в точках 4 и 7.
   • Можно взять функцию вида \( f(x) = -(x - 4)(x - 7) \).

2. Преобразуем функцию:

   • \( f(x) = -((x - 4)(x - 7)) = -(x^2 - 11x + 28) = -x^2 + 11x - 28 \).
   • Эта функция будет принимать отрицательные значения на интервалах (-∞, 4) и (7, +∞).

3. Проверка:

   • На границах:
     • \( f(4) = -4^2 + 11*4 - 28 = 0 \)
     • \( f(7) = -7^2 + 11*7 - 28 = 0 \)
   • В пределах интервалов, например, для \( x = 0 \) и \( x = 8 \):
     • \( f(0) = -(0)^2 + 11*0 - 28 = -28 \) (функция отрицательна)
     • \( f(8) = -8^2 + 11*8 - 28 = 4 \) (функция положительна)

Таким образом, функция \( f(x) = -x^2 + 11x - 28 \) будет принимать отрицательные значения на промежутках (-∞, 4) и (7, +∞).

Окончательные функции

• Для случая (а): \( f(x) = -x^2 + 16 \)
• Для случая (б): \( f(x) = -x^2 + 11x - 28 \)

Эти функции соответствуют условиям задачи. Если есть вопросы или необходимы уточнения, не стесняйтесь задавать!