Приведите пример квадратичной функции, принимающей отрицательные значения только на: а) промежутке (-5; 5); б) промежутках (-∞; 4)и (7; +∞)

Квадратичные функции имеют вид \( f(x) = ax^2 + bx + c \), где \( a, b, c \) — это коэффициенты, и \( a \neq 0 \). Чтобы построить квадратичную функцию, которая принимает отрицательные значения на указанных промежутках, необходимо проанализировать её график. ### а) Пример квадратичной функции, принимающей отрицательные значения только на промежутке (-5; 5): 1. **Определим вид функции:** Для того чтобы функция принимала отрицательные значения только в заданном промежутке, её график должен быть ниже оси абсцисс (то есть значение функции меньше нуля) на этом интервале и выше оси (больше или равно нулю) на значениях вне этого интервала. Это можно достичь, если точка, где функция равна нулю, находится на границах интервала (-5 и 5). 2. **Коэффициенты:** В качестве простого примера возьмём функцию, которая имеет корни в точках -5 и 5: \[ f(x) = k(x + 5)(x - 5) = k(x^2 - 25) \] Для того чтобы функция принимала отрицательные значения на интервале (-5; 5), необходимо, чтобы \( k < 0 \). Например, пусть \( k = -1 \): \[ f(x) = -(x^2 - 25) = -x^2 + 25 \] 3. **Проверка:** Теперь проверим: - При \( x = -5 \) и \( x = 5 \): \( f(-5) = f(5) = 0 \) (функция пересекает ось x). - При \( x = 0 \) (внутри интервала): \( f(0) = -0^2 + 25 = 25 \) (положительное значение, функция находится выше оси x вне интервала). - На краях интервала функция принимает значение 0, а в промежутке – отрицательное значение. ### Ответ: Функция \( f(x) = -x^2 + 25 \) принимает отрицательные значения только на интервале (-5; 5). --- ### б) Пример квадратичной функции, принимающей отрицательные значения на промежутках (-∞; 4) и (7; +∞): 1. **Определим вид функции:** Здесь нужно, чтобы график функции был ниже оси абсцисс на промежутках (-∞; 4) и (7; +∞), а на промежутке (4; 7) — выше (то есть положителен). 2. **Коэффициенты:** Для обеспечения этого мы можем взять функцию, у которой корни находятся в точках 4 и 7: \[ f(x) = k(x - 4)(x - 7) \] Также необходимо, чтобы \( k > 0 \), чтобы вещественные значения были положительными на промежутке (4; 7). Например, пусть \( k = 1 \): \[ f(x) = (x - 4)(x - 7) = x^2 - 11x + 28 \] 3. **Проверка:** Теперь проверим: - При \( x = 4 \) и \( x = 7 \): \( f(4) = f(7) = 0 \). - При \( x = 0 \) (внутри первого промежутка): \( f(0) = 0^2 - 11 \cdot 0 + 28 = 28 \) (положительное значение). - При \( x = 10 \) (внутри второго промежутка): \( f(10) = 100 - 110 + 28 = 18 \) (положительное значение). - При \( x = 2 \) (в первом промежутке): \( f(2) = 2^2 - 11 \cdot 2 + 28 = -2 \) (отрицательное значение). - При \( x = 8 \) (во втором промежутке): \( f(8) = 64 - 88 + 28 = 4 \) (положительное значение). ### Ответ: Функция \( f(x) = (x - 4)(x - 7) \) принимающая отрицательные значения на промежутках (-∞; 4) и (7; +∞).