{3x+y=4 {5x-2y=14
Чтобы решить систему уравнений
\[ \begin{cases} 3x + y = 4 \quad (1) \\ 5x - 2y = 14 \quad (2) \end{cases} \]
мы можем использовать метод подстановки или метод сложения. В данном ответе я покажу оба метода для лучшего понимания.
Метод подстановки
Выразим \(y\) из первого уравнения (1):
\[ y = 4 - 3x \quad (3) \]
Подставим выражение для \(y\) из (3) во второе уравнение (2):
\[ 5x - 2(4 - 3x) = 14 \]
Раскроем скобки:
\[ 5x - 8 + 6x = 14 \]
Соберем подобные слагаемые:
\[ 11x - 8 = 14 \]
Добавим 8 к обеим сторонам:
\[ 11x = 22 \]
Разделим обе стороны на 11:
\[ x = 2 \]
Теперь подставим найденное значение \(x\) в (3) для нахождения \(y\):
\[ y = 4 - 3(2) = 4 - 6 = -2 \]
Результат
Мы нашли, что:
\[ x = 2, \quad y = -2 \]
Метод сложения
Мы можем тоже решить систему через сложение. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты у \(y\) стали одинаковыми:
\[ 2(3x + y) = 2(4) \quad \Rightarrow \quad 6x + 2y = 8 \quad (4) \]
Теперь у нас есть система:
\[ \begin{cases} 6x + 2y = 8 \quad (4) \\ 5x - 2y = 14 \quad (2) \end{cases} \]
Сложим уравнения (4) и (2):
\[ (6x + 2y) + (5x - 2y) = 8 + 14 \]
Упростим левую часть:
\[ 11x = 22 \]
Решим для \(x\):
\[ x = 2 \]
Теперь подставим \(x = 2\) в (1):
\[ 3(2) + y = 4 \quad \Rightarrow \quad 6 + y = 4 \] \[ y = 4 - 6 = -2 \]
Результат
Таким образом, у нас снова получается:
\[ x = 2, \quad y = -2 \]
Заключение
Решение системы уравнений дало результаты \(x = 2\) и \(y = -2\). Мы использовали два метода: подстановку и сложение. Оба метода привели к одному и тому же результату. Этот процесс помогает лучше понять, как работают системы линейных уравнений. Если у вас есть еще вопросы по данному материалу, пожалуйста, спрашивайте!
