Катет прямоугольного треугольника равен 8 см и медиана проведённая к нему равна 2√13 найдите периметр прямоугольника

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом. У нас есть прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен \( a = 8 \) см, и мы знаем длину медианы, проведенной к этому катету, которая равна \( m_a = 2\sqrt{13} \). ### Шаг 1: Формула медианы Длина медианы, проведенной к катету \( a \), может быть вычислена по формуле: \[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \] где: - \( b \) и \( c \) — это другие катет и гипотенуза соответственно. - \( a \) — это данный катет, равный 8 см. ### Шаг 2: Подставим известные значения Подставляем \( m_a \) и \( a \) в формулу: \[ 2\sqrt{13} = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - 8^2} \] ### Шаг 3: Упростим уравнение Умножим обе стороны на 2: \[ 4\sqrt{13} = \sqrt{2b^2 + 2c^2 - 64} \] Теперь возведем обе стороны в квадрат: \[ (4\sqrt{13})^2 = 2b^2 + 2c^2 - 64 \] Считаем квадрат: \[ 16 \cdot 13 = 2b^2 + 2c^2 - 64 \] Это дает: \[ 208 = 2b^2 + 2c^2 - 64 \] ### Шаг 4: Перепишем уравнение Добавим 64 к обеим сторонам: \[ 208 + 64 = 2b^2 + 2c^2 \] Таким образом, мы получаем: \[ 272 = 2b^2 + 2c^2 \] Разделим обе стороны на 2: \[ 136 = b^2 + c^2 \] ### Шаг 5: Используем теорему Пифагора В прямоугольном треугольнике, согласно теореме Пифагора, имеем: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставим значение \( a = 8 \): \[ 8^2 + b^2 = c^2 \] Это дает: \[ 64 + b^2 = c^2 \] ### Шаг 6: Выразим \( c^2 \) Теперь выразим \( c^2 \) через \( b^2 \): \[ c^2 = 64 + b^2 \] ### Шаг 7: Подставим \( c^2 \) в предыдущее уравнение Теперь подставим это выражение в уравнение \( 136 = b^2 + c^2 \): \[ 136 = b^2 + (64 + b^2) \] Это можно упростить до: \[ 136 = 2b^2 + 64 \] Теперь вычтем 64: \[ 72 = 2b^2 \] Делим на 2: \[ b^2 = 36 \] Таким образом, находим \( b \): \[ b = 6 \text{ см} \] ### Шаг 8: Найдем \( c \) Теперь можем найти \( c \): \[ c^2 = 64 + b^2 = 64 + 36 = 100 \] Следовательно, \( c = 10 \text{ см} \). ### Шаг 9: Найдем периметр треугольника Периметр прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ P = a + b + c \] Подставим известные значения: \[ P = 8 + 6 + 10 = 24 \text{ см} \] ### Ответ Периметр прямоугольного треугольника равен \( 24 \) см.