Кубик бросают в 6 раз. величина Z представляет собой количество раз, когда на кубике выпала шестерка. найти вероятность того, что Z = 1.
Для решения задачи о вероятности, давайте процессе разберем все шаги:
Идентификация задачи: Мы бросаем кубик 6 раз и хотим найти вероятность того, что шестерка выпала ровно один раз (Z = 1) за все броски.
Обозначение события и параметры:
- Обозначим событие "выпала шестерка" как \( p = \frac{1}{6} \) (так как на стандартном кубике 6 граней, и только одна из них — шестерка).
- Вероятность того, что выпала не шестерка: \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \).
Количество испытаний: Здесь у нас 6 бросков кубика, \( n = 6 \).
Формула для биномиального распределения: Мы можем использовать биномиальное распределение для вычисления вероятности. Общая формула вероятности для события, которое случается k раз в n независимых испытаниях, выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент (количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний),
- \( p \) — вероятность успеха,
- \( q \) — вероятность неуспеха,
- \( k \) — количество успехов (в нашем случае 1).
Подсчёт биномиального коэффициента: Для нашего случая при \( n = 6 \) и \( k = 1 \):
\[ C(6, 1) = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1! \cdot 5!} = 6 \]
Подсчёт вероятности: Теперь подставим значения в формулу:
\[ P(Z = 1) = C(6, 1) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{6-1} \]
Разобьем это:
\[ P(Z = 1) = 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5 \]
Рассчитаем \( \left(\frac{5}{6}\right)^5 \):
\[ \left(\frac{5}{6}\right)^5 = \frac{5^5}{6^5} = \frac{3125}{7776} \]
Теперь подставляем:
\[ P(Z = 1) = 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{3125}{7776} = \frac{3125}{7776} \]
Ответ: Вероятность того, что шестерка выпала ровно один раз при 6 бросках кубика, равна:
\[ P(Z = 1) = \frac{3125}{7776} \]
Это значение можно оставить в дробном виде либо, при необходимости, приблизить до десятичного.
